2021-2022学年辽宁省铁岭市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省铁岭市七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共20分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

3. 若，则代数式是

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等
B. 如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直
C. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行
D. 如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等

5. 如图，能判定的条件是

A.
B.
C.
D.

6. 若与同旁内角，且时，则的度数为

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

7. 如图，，，垂足为，，则的大小为

A.
B.
C.
D.

A.  B.  C.  D.

9. 如果是一个完全平方式，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：；；；，其中正确的个数是

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 若是关于的完全平方式，则常数______．
12. 若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为______ 。
13. 己知，，则 ______ ．
14. 若，，则的值为______．
15. 如图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则从岛看、两岛的视角______度．
     

16. 如图，已知，和的平分线相交于，，则的度数为______．
     

三．解答题（本题共8小题，共70分）

17. ；
    利用公式计算：
    ；
    ．
18. 计算：
    ；
    ．
19. 已知，，求和的值．
20. 化简求值：，其中，．
21. 阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
    已知：如图，点、分别在线段、上，，交于点，平分求证：平分
    证明：平分已知
    ______
    已知
    ______
    故______
    已知
    ，______
    ______
    ______
    平分______
22. 如图所示，已知，，和平行吗？如果平行，请说明理由．
    
    
     

23. 如图所示，图甲由长方形，长方形组成，图甲通过移动长方形得到图乙．
    ______，______用含、的代数式分别表示；
    
    利用的结果，说明、、的等量关系；
    应用所得的公式计算：
    ；
    如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系．
24. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
    求的度数；
    若其他条件不变，图形发生了变化，已知的两个角度数改为：
    当，，则 ______ ；
    当，时，则 ______ ；
    当，时，则 ______ ；
    若，你能找到与和之间的关系吗？请写出你发现的结论并说明理由．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，故选项A计算正确；
，故选项B计算错误；
，故选项C计算错误；
，故选项D计算错误．
故选：．
利用单项式乘单项式法则计算、、，利用合并同类项法则计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，两项都互为相反数，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；
故选：．
根据平方差公式的结构特征判断即可．
本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，


．
故选：．
表示出，再利用完全平方公式展开计算即可得解．
本题考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：．
 

4.【答案】

【解析】解：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角必相等，
故A错误，不符合题意；
如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直，
故B正确，符合题意；
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，
故C错误，不符合题意；
如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
故D错误，不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：当或时，；
B正确，，，D错误．
故选B．
直接利用平行线的判定定理判定即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了平行线的判定．注意同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
 

6.【答案】

【解析】解：虽然和是同旁内角，但缺少两直线平行的前提，所以无法确定的度数．
故选：．
两直线平行，同旁内角互补；不平行时无法确定同旁内角的大小关系．
此题主要考查了同旁内角的定义，特别注意，同旁内角互补的条件是两直线平行．
 

7.【答案】

【解析】解：，
．
，
．
，
．
故选C．

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查幂的乘方，底数不变指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据幂的乘方的性质进行计算．
【解答】
解： ．
故选 A ．   

9.【答案】

【解析】解：，
在中，．
故选：．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍，故．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．
【解答】
解： 纸条的两边平行，
， ， ，故 正确；
又 直角三角板与纸条下线相交的角为 ，
，故 正确．   

11.【答案】

【解析】解：是关于的完全平方式，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

12.【答案】

【解析】解：设这个角的度数是，
则，
解得：。
答：这个角的度数是。
故答案为：。
根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的倍”作为相等关系列方程求解，即可得出结果。
本题考查余角和补角的知识，设未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法。
 

13.【答案】

【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接将原式配方变形，进而将已知代入求出即可．
此题主要考查了公式法应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，，



，
解得，，
故答案为：．
根据平方差公式和题目中式子的值可以求得的值，本题得以解决．
本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答．
 

15.【答案】

【解析】解：连接．
岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏方向，
，
三角形内角和是，
．
故答案为：．
先求出及的度数，再根据三角形内角和是即可进行解答．
本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出及的度数是解答此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
根据平行线的性质可得 ， 由此得出 的值，再根据四边形的内角和为 可得出 的度数．
【解答】
解：

过点 作 ，
则可得 ， ，
；
又 ，
，
和 的平分线相交于 ，
；
四边形的 的内角和为 ，
，
故答案为 ．   

17.【答案】解：


；




；




．

【解析】先计算立方、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减；
将原式变形后运用平方差公式进行计算；
将原式变形后运用完全平方公式进行计算．
此题考查了运用乘法公式进行实数计算的能力，关键是能对算式进行准确变形，并能运用乘法公式进行计算．
 

18.【答案】解：原式
原式


 

【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：，，
；
．

【解析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：当，时，
原式

 

【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】角平分线的定义  两直线平行，内错角相等  等量代换  两直线平行，同位角相等  两直线平行，内错角相等  等量代换  角平分线的定义

【解析】证明：平分已知
角平分线的定义
已知
两直线平行，内错角相等
故等量代换
已知
，两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等量代换
平分角平分线的定义．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解；，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
．

【解析】由条件可得到可证得，可得到，结合条件可证明．
本题主要考查平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题可得，；
；
故答案为：；；

；
、、的等量关系为：；





；

如图所示，将图丙分成四个长为，宽为的小长方形，再拼成如图所示的正方形．

根据图可得：
，
，
．
根据长方形的面积计算公式以及正方形的面积计算公式进行计算，即可得到结论；
根据即可得到、、的等量关系；
根据得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得结论；
将图丙分成四个长为，宽为的小长方形，再拼成大正方形，即可得到、、三者的等量关系．
本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
 

24.【答案】，，
，
是的角平分线，
，
，，
，
，
；；
，
证明：，
是的角平分线，
，
，
，
．

【解析】

解： 见答案

， ，则
， 时，则 ，
， 时，则 ，
故答案为： ； ； ；

见答案
【分析】
根据三角形内角和定理求出 ，根据三角形的高和角平分线的定义计算即可；
同 的解法相同，计算即可；
根据三角形内角和定理求出 ，根据三角形的高和角平分线的定义计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高、角平分线的定义，掌握相关定理、定义是解题的关键．