2020-2021学年江苏省南京市联合体七年级（下）期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省南京市联合体七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2分）计算（﹣a2）3的结果是（　　）

A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6

3．（2分）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）

A．（a+b）（b+a） B．（2a+b）（2b﹣a） 

C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（2a﹣1）（2a+1）

4．（2分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 

C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°

5．（2分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（　　）

A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣3，b＝3 D．a＝3，b＝3

6．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　）

A．15 B．17 C．20 D．22

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）计算（）0＝　 　，2﹣1＝　 　．

8．（2分）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是　     　．

9．（2分）新型冠状病毒的直径大约是0.0000007米，将0.0000007用科学记数法表示为　       　．

10．（2分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是　   　．

11．（2分）若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为　              　．

12．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为　 　．

13．（2分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果　             　，那么　             　．

14．（2分）公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝　                　．

15．（2分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　   　°．

16．（2分）如图，AB∥DE，∠C＝30°，∠CDE﹣∠B＝110°，则∠CDE＝　    　°．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：

（1）a6÷a2﹣2a3•a；

（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．

18．（6分）因式分解：

（1）3ab2+6ab+3a；

（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）．

19．（7分）先化简，再求值：（m﹣2n）（m+2n）﹣（m﹣2n）2+4n2，其中m＝﹣2，n＝．

20．（7分）解二元一次方程组．

（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③

将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，

将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为　       　．

（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．

21．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EC∥FD，∠F＝∠E，求证：AE∥BF．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．

证明：∵EC∥FD，（已知）

∴∠F＝∠　 　．（　 　）

∵∠F＝∠E，（已知）

∴∠　 　＝∠E，（　 　）

∴AE∥BF．（　 　）

22．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A、B、A1都在方格纸的格点上．

（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，点B与点B1重合，画出线段A1B1；

（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是　      　；

（3）四边形ABB1A1的面积是　      　．

23．（6分）同底数幂的乘法公式为：am•an＝　     　（m、n是正整数）．

请写出这一公式的推导过程．

24．（6分）观察下列各式：

①32﹣12＝4×2；

②42﹣22＝4×3；

③52﹣32＝4×4；

…

（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式　                　（用含n的字母表示）；

（2）若式子a2﹣b2＝2020满足以上规律，则a＝　                　，b＝　                　；

（3）计算：20+24+28+…+100．

25．（8分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．求证：BE∥DF．

26．（11分）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．

已知：如图①，AB∥CD，　                　．

求证：　                　．

证明：

（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．

（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．

参考答案

1-5CDDBC       6．B

7．1；

8．3a2b

9．7×10﹣7

10．﹣1

11．

12．1

13．两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行

14．a3﹣3a2b+3ab2﹣b3

15．56

16．160

17．解：（1）原式＝a 4﹣2a 4

＝﹣a 4．

（2）原式＝2x2﹣4xy﹣（x2﹣2xy+y2）

＝2x2﹣4xy﹣x2+2xy﹣y2

＝x2﹣2xy﹣y2．

18．解：（1）原式＝3a（b2+2b+1）

＝3a（b+1）2；

（2）原式＝（a﹣b）（a 2﹣4）

＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．

19．解：原式＝m2﹣4n2﹣（m2﹣4mn+4n2）+4n2

＝m2﹣4n2﹣m2+4mn﹣4n2+4n2

＝﹣4n2+4mn，

把m＝﹣2，n＝ 代入上式，原式＝﹣4×（）2+4×（﹣2）×＝﹣1﹣4＝﹣5．

20．解：（1）原方程组中有两个未知数x，y，把③代入①后，得到一个关于y的一元一次方程．

（2），

①×2得：6x+2y＝2③，

②+③得：7x＝14，

x＝2，

把x＝2代入①中得：

3×2+y＝1，

6+y＝1，

y＝1﹣6，

y＝﹣5．

∴方程组的解为．

21．证明：∵EC∥FD，（已知）

∴∠F＝∠1．（同位角相等，两直线平行）

∵∠F＝∠E，（已知）

∴∠1＝∠E，（等量代换）

∴AE∥BF．（内错角相等，两直线平行）

22．解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求．

（2）由平移的性质知AA1与BB1的关系是平行且相等，

（3）四边形ABB1A1的面积是4×5﹣2××1×3﹣2××（1+5）×1＝11．

23．解：am•an＝am+n，

对于任意的底数a，当m、n是正整数时，

am•an＝•

＝

＝am+n．

24．（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；

（2）∵2020＝4x505＝4（n+1），

∴n＝504，

.a＝n+2＝506，

b＝n＝504，

（3）解：原式＝4×5+4×6+4×7+……+4×24+4×25

＝62﹣42+72﹣52+82﹣62+……+252﹣232+262﹣242

＝﹣42﹣52+252+262

＝252﹣52+262﹣42

＝30×20+30×22

＝1260．

25．（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠B+∠C＝180°，

∵AD∥BC，

∴∠D+∠C＝180°，

∴∠B＝∠D；

（2）证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠EBC＝∠ABC，∠EDF＝∠ADC，

由（1）知∠ABC＝∠ADC，

∴∠EBC＝∠EDF，

∵AD∥BC，

∴∠EDF＝∠DFC，

∴∠EBC＝∠DFC，

∴BE∥DF．

26．（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F

求证：OE⊥OF；

证法1：∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，

∴∠OEF+∠OFE＝∠AEF+∠CFE＝90°．

∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF；

证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，

∴∠AEO+∠CFO＝∠AEF+∠CFE＝90°．

∵OP∥CD，AB∥CD，

∴OP∥AB．

∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．

∴OE⊥OF；

（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，

∵AB∥CD，

∴∠AEG+∠CGE＝180°，

∵EM∥FN，

∴∠CGE＝∠CFN．

∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，

∴∠AEO+∠CFO＝∠AEM+∠CFN＝∠AEM+∠CGE＝90°，

∵OP∥CD，AB∥CD，

∴OP∥AB．

∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．

∴OE⊥OF；

（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．

∵EM∥PN，FN∥MP，

∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，

由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，

∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，

∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO

＝∠AEM+∠CFN＝×102°＝51°．