09三角函数-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题09 三角函数

1．【2022年全国甲卷】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.

【详解】

由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，

解得，又，故当时，的最小值为.

故选：C.

2．【2022年全国甲卷】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．

【详解】

解：依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．

故选：C．

3．【2022年全国乙卷】函数在区间的最小值、最大值分别为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.

【详解】

，

所以在区间和上，即单调递增；

在区间上，即单调递减，

又，，，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

故选：D

4．【2022年新高考1卷】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）

A．1 B． C． D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】

由函数的最小正周期T满足，得，解得，

又因为函数图象关于点对称，所以，且，

所以，所以，，

所以.

故选：A

5．【2022年新高考2卷】若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】

由已知得：,

即：，

即：,

所以,

故选：C

6．【2021年甲卷文科】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.

7．【2021年乙卷文科】函数的最小正周期和最大值分别是（       ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】

由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

8．【2021年乙卷文科】（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】

由题意，

.

故选：D.

9．【2021年乙卷理科】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】

因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

11．【2021年新高考1卷】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】

将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】

易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

12．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（       ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

.

故选：C.

13．【2020年新课标1卷理科】设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】

由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

14．【2020年新课标1卷理科】已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.

【详解】

，得，

即，解得或（舍去），

又.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（       ）

A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】

方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（       ）

A．–2 B．–1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.

【详解】

，，

令，则，整理得，解得，即.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.

17．【2020年新课标3卷文科】已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】

由题意可得：，

则：，，

从而有：，

即.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

18．【2020年新课标3卷文科】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（       ）

A． B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求

【详解】

设

故选：C

【点睛】

本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

19．【2022年新高考2卷】已知函数的图像关于点中心对称，则（       ）

A．在区间单调递减

B．在区间有两个极值点

C．直线是曲线的对称轴

D．直线是曲线的切线

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．

【详解】

由题意得：，所以，，

即，

又，所以时，，故．

对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；

对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；

对C，当时，，，直线不是对称轴；

对D，由得：，

解得或,

从而得：或,

所以函数在点处的切线斜率为，

切线方程为：即．

故选：AD．

20．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】

由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】

已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

21．【2022年全国乙卷】记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；

【详解】

解： 因为，（，）

所以最小正周期，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时；

故答案为：

22．【2021年甲卷文科】已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.

【详解】

由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

【点睛】

已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

23．【2021年甲卷理科】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【解析】

【分析】

先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】

由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】

关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.

24．【2020年新课标2卷文科】若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.

25．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

【答案】

【解析】

【分析】

利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.

【详解】

设，由题意，，所以，

因为,所以，

因为，所以，

因为与圆弧相切于点，所以，

即为等腰直角三角形；

在直角中，，，

因为，所以，

解得；

等腰直角的面积为；

扇形的面积，

所以阴影部分的面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.