20不等式选讲-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题20 不等式选讲

1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

(1)

证明：由柯西不等式有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以；

(2)

证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且，证明：

(1)；

(2)；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

(1)

证明：因为，，，则，，，

所以，

即，所以，当且仅当，即时取等号．

(2)

证明：因为，，，

所以，，，

所以，，

当且仅当时取等号．

3．【2021年甲卷文科】已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】

（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】

关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

4．【2021年乙卷文科】已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

   当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式     

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

【整体点评】

（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.

5．【2020年新课标1卷理科】已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；

（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

【详解】

（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【点睛】

本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

6．【2020年新课标2卷理科】已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【详解】

（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

7．【2020年新课标3卷理科】设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．

【详解】

（1）［方法一］【最优解】：通性通法

，

.

均不为，则，．

［方法二］：消元法

由得，则，当且仅当时取等号，

又，所以．

［方法三］：放缩法

方式1：由题意知，又，故结论得证．

方式2：因为，

所以

．

即，当且仅当时取等号，

又，所以．

［方法四］：

因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，

不妨设则.

［方法五］：利用函数的性质

方式1：，令，

二次函数对应的图像开口向下，又，所以，

判别式，无根，

所以，即．

方式2：设，

则有a，b，c三个零点，若，

则为R上的增函数，不可能有三个零点，

所以．

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

不妨设，因为，所以，

则．故原不等式成立．

［方法二］：

不妨设，因为，所以，且

则关于x的方程有两根，其判别式，即．

故原不等式成立．

［方法三］：

不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．

［方法四］：反证法

假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．

【整体点评】

（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．

（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．