高一数学下学期期末精选50题（压轴版）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

高一数学下学期期末精选50题（压轴版）（人教A版2019）

一、单选题

1．（2020·云南省玉溪第一中学高一期末）如图所示，在正方形中，分别是的中点，现在沿把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.给出下列关系：

①平面；②平面；③；④上平面.其中关系成立的有

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

2．（2021·重庆南开中学高一期末）我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线在的部分曲线以轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（       ）．

A．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥

B．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为，底面是一个两直角边均为4的直角三角形

C．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥

D．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为和4的矩形

3．（2020·广西河池·高一期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（       ）

A． B． C． D．

4．（2021·河北张家口·高一期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．3

5．（2021·江苏徐州·高一期末）在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=DA=3，，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

6．（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期末）如图，是边长为的等边三角形，点在所在平面外，平面 平面，点是棱的中点，点分别在棱上，且，. 现给出下列四个结论:①平面；②是定值；③三棱锥体积的最大值是；④若三棱锥的体积是，则该三棱锥外接球的表面积是.其中正确结论的个数是（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·浙江·高一期末）棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（       ）

A． B． C． D．

8．（2021·陕西宝鸡·高一期末）在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9．（2016·吉林·高一期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（       ）

A．线段BM的长度是定值

B．点M在某个球面上运动

C．存在某个位置，使DE⊥A1C

D．存在某个位置，使平面A1DE

10．（2021·甘肃·天水市第一中学高一期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（       ）

A． B． C． D．

11．（2021·浙江·高一期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

12．（2021·上海市金山中学高一期末）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（       ）

A．(1，9] B．(3，9]

C．(5，9] D．(7，9]

13．（2020·重庆八中高一期末）在锐角中，若，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

14．（2020·重庆巴蜀中学高一期末）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为

A． B． C． D．

15．（2021·浙江·高一期末）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

16．（2021·山东青岛·高一期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论中正确的是（       ）

A．异面直线与所成角的取值范围为

B．直线直线

C．三棱锥的体积为定值

D．直线过的垂心

17．（2020·辽宁抚顺·高一期末）下列结论中正确的是（       ）

A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；

B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；

C．方程的解集为；

D．一次函数一定存在反函数．

18．（2021·浙江·高一期末）在中，D是边中点，下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则是在上的投影向量

C．若点P是的外心，，且，则

D．若点Q是线段上的动点，且满足，则的最大值为

19．（2020·江苏宿迁·高一期末）下列说法中正确的是（       ）

A．对于向量，，，有

B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形

C．若，分别表示的面积，则

D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0

20．（2021·浙江湖州·高一期末）如图，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（       ）

A． B． C． D．

21．（2021·山东烟台·高一期末）在正方体中，点为线段上一动点，则（       ）

A．对任意的点，都有

B．三棱锥的体积为定值

C．当为中点时，异面直线与所成的角最小

D．当为中点时，直线与平面所成的角最大

22．（2021·辽宁·高一期末）在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（       ）．

A．四面体的体积的最大值是

B．的取值范围是

C．四面体的表面积的最大值是

D．当时，球的体积为

23．（2021·浙江·高一期末）下列说法正确的是（       ）

A．若非零向量，且，则为等边三角形

B．已知，且四边形为平行四边形，则

C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1

D．已知向量，则与夹角的范围是

24．（2020·江苏宿迁·高一期末）如图，在菱形中，,，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．

B．的长不为定值

C．与的夹角为

D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是

25．（2021·福建南平·高一期末）已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，将上底面绕上、下底面的中心所在的直线，逆时针旋转后（下底面位置保持不变），再添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．四边形为正方形

D．正三棱柱与多面体的体积相同

26．（2021·福建省福州第一中学高一期末）已知菱形的边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为三棱锥表面上的动点，则（       ）

A．四面体的外接球的半径为

B．与所成的角

C．线段的最大值是

D．若，则点轨迹的长度为

三、双空题

27．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，(单位：米)，则=___________；四边形的面积为__________________（平方米）．

28．（2021·重庆·高一期末）已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______；若，则_______.

29．（2022·陕西·长安一中高一期末）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

30．（2021·河北·衡水市第十四中学高一期末）已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则______；②若，的夹角为，则的最小值为______．

31．（2021·天津·高一期末）在中，，，，，则______，延长交于点，点在边上，则的最小值为______.

32．（2019·全国·福建省福州格致中学高一期末）已知，，若对任意实数，点都满足，则的最小值为________，此时_________．

四、填空题

33．（2020·甘肃·静宁县第一中学高一期末）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则下列结论正确的是_____．（填序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④sin∠PDA．

34．（2022·陕西西安·高一期末）边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.

35．（2021·西藏·拉萨中学高一期末）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.

36．（2021·贵州黔东南·高一期末）已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.

37．（2021·湖南·高一期末）在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．

38．（2019·四川遂宁·高一期末（理））在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.

39．（2021·重庆一中高一期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）

40．（2021·江苏徐州·高一期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________

41．（2021·浙江·高一期末）在中，记角所对的边分别是，面积为，则的最大值为___________.

42．（2021·浙江·高一期末）已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________．

43．（2021·福建南平·高一期末）如图，已知边长为4的菱形中，，将沿对角线翻折至所在的位置，若二面角的大小为，则过，，，四点的外接球的表面积为___________.

44．（2020·浙江·瑞安市上海新纪元高级中学高一期末）王者荣耀是一款风靡全国的MOBA手游，其中上官婉儿的连招“2133333”能画出一个五边形，体现数学之美.如图所示，凸五边形ABCDE，，△BDE是以BD为斜边的等腰直角三角形，若△ABE是以BE为斜边的等腰直角三角形，P在线段BD上运动，则tan∠APE的取值范围是____.

五、解答题

45．（2021·广东汕尾·高一期末）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记.

（1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积；

（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.

46．（2021·浙江绍兴·高一期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求的大小；

（2）若，求的面积；

（3）求的最大值.

47．（2021·山西太原·高一期末）如图，在三棱锥中，平面，

（1）若，.求证：；

（2）若，，分别在棱，，上，且，，.求证：平面.

48．（2021·安徽·合肥市第六中学高一期末）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，点M，G分别在，上，且，.

（1）证明：直线平面.

（2）若点G恰好是点在平面内的正投影，此时，求三棱锥的体积.

（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）

49．（2019·山东省东明县第一中学高一期末）手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.

（1）求；

（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：

（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

50．（2021·山东青岛·高一期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．

（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．

（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？