2022年上海市长宁区高考二模数学试题（含答案）

这是一份2022年上海市长宁区高考二模数学试题（含答案），共8页。
2021学年第二学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设集合，，则         . 2. 已知四个数，，，的平均数为，则这四个数的中位数是        .3. 已知复数满足：（为虚数单位），则        .4. 已知实数满足，则的最小值为           ．5. 已知随机事件、互相独立，且，，则       .6. 已知，若，则         .7. 已知等比数列的公比为2，前项和为，则          .8. 将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有          种不同的放法．9. 曲线的焦点坐标为          .10. 已知函数满足：，则不等式的解集为    .11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点. 若，则双曲线的渐近线方程为        .12. 已知数列满足：对任意，都有，. 设数列的前项和为，若，则的最大值为          .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 是方程组有唯一解的（  ）. A.充分不必要条件；       B.必要不充分条件；        C.充要条件；             D.既不充分也不必要条件．14. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（   ）.    A. 直线；         B. 直线；C. 直线；         D. 直线.15. 若函数存在反函数，则常数的取值范围为（  ） A.  B.  C.  D. 16. 已知函数满足：. 若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（  ） A.  B.  C.  D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线的长为.（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；（2）是底面圆周上的两个点，，为线段的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线与平面所成角的大小.         18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.在△中，角的对边分别为.（1）若，求；（2）若，△的面积，求△外接圆半径的最小值．           19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.甲、乙两人同时分别入职、两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元； 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍. （1）分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）；（2）设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由.          20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.已知分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆的右焦点，是椭圆上异于的点.（1）若，求椭圆的标准方程；（2）设直线与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点，求证：的值仅与有关；（3）如图，在四边形中，，，若四边形面积的最大值为，求的值.          21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.     已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质.    （1）若函数具有性质，求的值；（2）设，若，求证：存在常数，使得具有性质；（3）若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点.  
2021学年第二学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.；  2. 3；     3. 0.42；      4. 1；      5.；    6. 27. 2;      8. 18;      9.;    10.;    11.；  12..二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. C；      14. A；     15. D；     16 .  C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）  解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）    解：（1）设圆锥的底面半径为，侧面母线长为，则，    ………2分    因为，所以，      ………4分    所以圆锥的体积     ……….6分   （2）设的中点为，连接、，则    因为，所以，                  ………2分    因为底面，所以    所以平面，                               所以即是直线与平面所成角.         ……….4分因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高，得，.   ……….6分因为，               所以，所以.     ………8分  18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）   解：（1）因为，        所以               ………2分   所以，     ………4分因为，所以      ………6分（2）由已知，      所以，                                ……….2分所以     ………..4分因为所以（当时取等号）         ………..6分所以所以的最小值为（当时取得）   ………8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）甲的基础工资收入总量元     …….3 乙的基础工资收入总量元          ………6分（2），              ……….4分设，解得所以当时，递增，当时，递减，    ……..6分因为，，，， 所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资.       …….8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）由已知是等边三角形，因为，，            ……….2分所以，得椭圆的标准方程为.        ………4分（2）设，，，因为，所以直线、的方程分别为，，     ……..2分所以，，    ……….4分，  所以的值仅与有关.      ……..6分（3）设，，因为，，所以，两式相减得，                    ………2分带回原式得，因为，所以，          ……….4分    因为的最大值为 ，所以 ，得.       ……….6分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）    解：（1）函数具有性质，    所以对任意，都有，令，得，令，得，       …….2分所以.               ………4分（2）证明：函数具有性质的充要条件为存在，使得，即，  ……2分设，因为，，所以在区间上函数存在零点，       ……4分取，则，得函数具有性质.               ……6分（3）设，因为，所以，令得，，                ………2分①若，则函数存在零点；若，当时，，所以此时函数在区间上存在零点；     ………4分②因为所以                          ………6分若，当时，，所以此时函数在区间上存在零点.综上，函数在上存在零点.         ………8分