2022年上海市松江区高考二模数学试题（含答案）

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松江区高三数学练习 （满分150分，完卷时间120分钟）            2022．6考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题1．已知集合，集合，则＝   ▲   ． 2．若复数，其中为虚数单位，则   ▲   ． 3．在中，若，则=   ▲   ． 4．若函数的反函数的图像经过点，则=   ▲   ．　　5．在的展开式中，含的系数为   ▲   ． 6．若实数、满足约束条件，则的最小值是   ▲   ．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为   ▲   ． 8．如图所示，在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小为   ▲   ．（结果用反三角函数表示）9．已知正实数、满足，则的最小值为   ▲   ．10．已知数列的首项，且对任意的，都有，则   ▲   ．11．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为   ▲   ． 12．已知函数，是定义在上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为   ▲   ．  二、选择题13．下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是A． B． C． D．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是A．平均数          B．中位数         C．众数       D．方差15．设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为A． B． C． D． 16．已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是A． B． C． D． 三、解答题17． 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．（1）求四棱锥的全面积；（2）求证：．  18． 在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 19． 如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记． （1）当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）（2）问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 20．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和． （1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程； （3）若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．  21． 对于定义在上的函数，若存在正数与集合，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．（1）若，判断是否具有性质，并说明理由；（2）若，且具有性质，求的最大值；（3）若函数的图像是连续曲线，且当集合（为正常数）时，具有性质，证明：是上的单调函数． 
松江区高三数学练习  参考答案   2022.6一、填空题1．    2．       3．       4． 2　　   5．       6．1         7．      8．   9．       10．       11．      12. 506二、选择题13． B    14. D    15. B   16． C17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB，F是PD的中点，E在棱CD上．（1）求四棱锥P﹣ABCD的全面积；（2）求证：PE⊥AF．解：（1）∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴       ………………2分同理可得            ………………3分∴………………4分     ………………6分（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．………………7分又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，           ………………8分∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．        ………………9分∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．           ………………10分∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．……………11分又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．            ………………14分 18.已知在等差数列中， ，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，……………1分由，可得，                 ……………3分解得，                            ……………4分∴；                 ……………6分（2）∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴，                           ……………8分又，可得，        ……………10分所以……………12分．   ……………14分19.如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记． （1）当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）（2）问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）解：∵，∴……………2分∵  ∴  ……………4分∴                ……………6分（2），，  ………7分所以，所以，                                    ………10分令，则∴                                          ………12分∴  ………13分此时，，，即时。 ………14分 20．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和． （1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点．求直线的方程； （3）若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．解：（1）∵   ∴，                        ………1分∵，由  得，∴         ………3分所以椭圆的方程：；                           ………4分 （2）∵直线的斜率为，故可设直线的方程为 ，  ………5分设，，， 由     可得，则，，                           ………7分∵以为直径的圆经过右顶点，∴，∴∴，整理可得，∴或，                                        ………9分∵，当或时，均有所以直线的方程为或．                      ………10分（3）证明：椭圆左、右焦点分别为、①当直线平行于轴时，∵直线与椭圆相切，∴直线的方程为，此时点、到直线的到距离分别为，∴． ………11分②直线不平行于轴时，设直线的方程为 联立，整理得，， ∵直线与椭圆相切，∴，∴                 ………13分∵到直线的距离为，到直线的距离为，∴，   ………15分∴点、到直线的距离之积为定值由．                     ………16分21. 对于定义在上的函数，若存在正数与集合，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．（1）若，判断是否具有性质，并说明理由；（2）若，且具有性质，求的最大值；（3）若函数的图像是的连续曲线，且当集合（为正常数）时，具有性质.证明：是上的单调函数． 【解答】（1）对一切，，且由于   ………3分具有性质.                               ………4分（2）令，                          ………5分则          ………8分∵具有性质，∴当时，恒有，即           ………9分，                                 ………10分（3）∵函数具有性质，∴对任意的区间，当时，都有成立.下面证明此时，恒有或恒有           ………12分若存在，使得…①，不妨设…②当①或②式中有等号成立时，与矛盾                 ………13分当①②两式中等号均不成立时，的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾               ………15分同理可证也不可能.∴对任意的区间，当时，恒有或恒有 ∵对任意的，总存在，使得：，………16分∴当时，此时在上单调递增                                  ………17分当时，成立，此时在上单调递减综上可知是上的单调函数                            ………18分