2021-2022学年福建省厦门市金鸡亭中学中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列计算正确的是（　　）

A．﹣= B． =±2

C．a6÷a2=a3 D．（﹣a2）3=﹣a6

2．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．315° B．270° C．180° D．135°

3．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是　　

A．8 B．9 C．10 D．12

5．下列交通标志是中心对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

6．- 的绝对值是（    ）

A．-4 B． C．4 D．0.4

7．（2011•雅安）点P关于x轴对称点为P1（3，4），则点P的坐标为（ ）

A．（3，﹣4）    B．（﹣3，﹣4）

C．（﹣4，﹣3）    D．（﹣3，4）

8．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（　　）

A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D

9．的倒数是（  ）

A． B．-3 C．3 D．

10．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（　　）

A．3，2.5 B．1，2 C．3，3 D．2，2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．在数轴上与所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是______．

12．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD＝4，则线段BE的长为______．

13．抛物线 的顶点坐标是________．

14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是___________（写出一个即可）．

15．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)=4,[−1.2)=−1，则下列结论中正确的是 ______ .(填写所有正确结论的序号)①[0)=0；②[x)−x的最小值是0；③[x)−x的最大值是0；④存在实数x，使[x)−x=0.5成立．

16．把16a3﹣ab2因式分解_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

18．（8分）问题情境：课堂上，同学们研究几何变量之间的函数关系问题：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=1．点P是AC上的一个动点，过点P作MN⊥AC，垂足为点P（点M在边AD、DC上，点N在边AB、BC上）．设AP的长为x（0≤x≤4），△AMN的面积为y．

建立模型：（1）y与x的函数关系式为：，

解决问题：（1）为进一步研究y随x变化的规律，小明想画出此函数的图象．请你补充列表，并在如图的坐标系中画出此函数的图象：

（3）观察所画的图象，写出该函数的两条性质：　   　．

19．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）连接DC，若BC＝4，求弧DC与弦DC所围成的图形的面积．

20．（8分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2，4，6，B组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

21．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．

（Ⅰ）△ABC的面积等于_____；

（Ⅱ）若四边形DEFG是正方形，且点D，E在边CA上，点F在边AB上，点G在边BC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点E，点G，并简要说明点E，点G的位置是如何找到的（不要求证明）_____．

22．（10分）为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间(单位：小时)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图(：，：，：，：)，根据图中信息，解答下列问题：

(1)这项工作中被调查的总人数是多少？

(2)补全条形统计图，并求出表示组的扇形统计图的圆心角的度数；

(3)如果李青想从组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率．

23．（12分）已知反比例函数的图象过点A（3，2）．

（1）试求该反比例函数的表达式；

（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

24．如图，点D是AB上一点，E是AC的中点，连接DE并延长到F，使得DE=EF，连接CF．

求证：FC∥AB．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】
根据二次根式的运算法则,同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算．

【详解】

A. 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

B.=2≠±2，故B选项错误；

C. a6÷a2=a4≠a3，故C选项错误；

D. (−a2)3=−a6，故D选项正确．

故选D.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算，熟记法则是解题的关键.

2、B

【解析】
利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．

【详解】

如图，

∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），

∵∠3+∠4=180°-∠C=90°，

∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．

3、B

【解析】
根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.

【详解】

设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.

       即得， ，故选B.

【点睛】

找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.

4、A

【解析】

试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．

解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，

由题意得：x+3x=180，

解得x=45，

这个多边形的边数：360°÷45°=8，

故选A．

考点：多边形内角与外角．

5、C

【解析】
根据中心对称图形的定义即可解答．

【详解】

解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．

【点睛】

本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．

6、B

【解析】
直接用绝对值的意义求解.

【详解】

−的绝对值是．

故选B．

【点睛】

此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．

7、A

【解析】

∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，

∴点P的坐标为（3，﹣4）．

故选A．

8、C

【解析】

试题解析：、由监测点监测时，函数值随的增大先减少再增大．故选项错误；

、由监测点监测时，函数值随的增大而增大，故选项错误；

、由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小，选项正确；

、由监测点监测时，函数值随的增大而减小，选项错误．

故选．

9、A

【解析】
先求出，再求倒数.

【详解】

因为

所以的倒数是

故选A

【点睛】

考核知识点：绝对值，相反数，倒数.

10、D

【解析】

试题解析：表中数据为从小到大排列．数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数．

所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．

故选D．

考点：1.众数；1.中位数.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2或﹣1

【解析】

解：当该点在﹣2的右边时，由题意可知：该点所表示的数为2，当该点在﹣2的左边时，由题意可知：该点所表示的数为﹣1．故答案为2或﹣1．

点睛：本题考查数轴，涉及有理数的加减运算、分类讨论的思想．

12、1

【解析】
本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C-60°+∠C=90°解出∠C，推出AD=DE，于是得到结论．

【详解】

∵△BDE是正三角形，

∴∠DBE=60°；

∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，

∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°；

∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，

解得∠C=75°，

∴∠ABC=75°，

∴∠A=30°，

∵∠AED=90°-∠DEB=30°，

∴∠A=∠AED，

∴DE=AD=1，

∴BE=DE=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果．

13、（0，-1）

【解析】

∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0， ，

∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)，

故答案为（0，-1）.

14、AB=AD（答案不唯一）.

【解析】

已知OA=OC，OB=OD，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．所以添加条件AB=AD或BC=CD或AC⊥BD，本题答案不唯一，符合条件即可.

15、④

【解析】
根据题意[x)表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．

【详解】

①[0)=1，故本项错误；

②[x)−x>0，但是取不到0，故本项错误；

③[x)−x⩽1，即最大值为1，故本项错误；

④存在实数x，使[x)−x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．

故答案是：④．

【点睛】

此题考查运算的定义，解题关键在于理解题意的运算法则.

16、a（4a+b）（4a﹣b）

【解析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【详解】

解：16a3-ab2

=a（16a2-b2）

=a（4a+b）（4a-b）．

故答案为：a（4a+b）（4a-b）．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

三、解答题（共8题，共72分）

17、小时

【解析】
过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．

【详解】

解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，

∴CD=AC=40海里．

在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，

∴BC=≈=50（海里），

∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

18、 (1) ①y=;②;(1)见解析；（3）见解析

【解析】
（1）根据线段相似的关系得出函数关系式（1）代入①中函数表达式即可填表（3）画图像，分析即可.

【详解】

（1）设AP=x

①当0≤x≤1时

∵MN∥BD

∴△APM∽△AOD

∴

∴MP=

∵AC垂直平分MN

∴PN=PM=x

∴MN=x

∴y=AP•MN=

②当1＜x≤4时，P在线段OC上，

∴CP=4﹣x

∴△CPM∽△COD

∴

∴PM=

∴MN=1PM=4﹣x

∴y==﹣

∴y=

（1）由（1）

当x=1时，y=

当x=1时，y=1

当x=3时，y=

（3）根据（1）画出函数图象示意图可知

1、当0≤x≤1时，y随x的增大而增大

1、当1＜x≤4时，y随x的增大而减小

【点睛】

本题考查函数，解题的关键是数形结合思想.

19、（1）详见解析；（2）.

【解析】
（1）连接OD，由平行线的判定定理可得OD∥AC，利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°，可得DE为⊙O的切线；
（2）连接CD，求弧DC与弦DC所围成的图形的面积利用扇形DOC面积-三角形DOC的面积计算即可．

【详解】

解：

（1）证明：连接OD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠B，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∴∠ODB＝∠A，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）连接CD，

∵∠A＝30°，AC＝BC，

∴∠BCA＝120°，

∵BC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∴CD⊥AB，

∴∠BCD＝60°，

∵OD＝OC，

∴∠DOC＝60°，

∴△DOC是等边三角形，

∵BC＝4，

∴OC＝DC＝2，

∴S△DOC＝DC×＝，

∴弧DC与弦DC所围成的图形的面积＝﹣＝﹣．

【点睛】

本题考查的知识点是等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算.

20、（1）P（抽到数字为2）=；（2）不公平，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．

试题解析: （1）P=；

（2）由题意画出树状图如下：

一共有6种情况，

甲获胜的情况有4种，P=，

乙获胜的情况有2种，P=，

所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．

考点：游戏公平性；列表法与树状图法．

21、6    作出∠ACB的角平分线交AB于F，再过F点作FE⊥AC于E，作FG⊥BC于G   

【解析】
（1）根据三角形面积公式即可求解,（2）作出∠ACB的角平分线交AB于F,再过F点作FE⊥AC于E,作FG⊥BC于G,过G点作GD⊥AC于D,四边形DEFG即为所求正方形．

【详解】

解：（1）4×3÷2=6,故△ABC的面积等于6.

（2）如图所示,作出∠ACB的角平分线交AB于F,再过F点作FE⊥AC于E,作FG⊥BC于G,四边形DEFG即为所求正方形．

故答案为:6,作出∠ACB的角平分线交AB于F,再过F点作FE⊥AC于E,作FG⊥BC于G．

【点睛】

本题主要考查了作图-应用与设计作图、三角形的面积以及正方形的性质、角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质及正方形的性质作出正确的图形是解本题的关键．

22、（1）50人；（2）补全图形见解析，表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为108°；（3）.

【解析】

分析：(1)、根据B的人数和百分比得出样本容量；(2)、根据总人数求出C组的人数，根据A组的人数占总人数的百分比得出扇形的圆心角度数；(3)、根据题意列出树状图，从而得出概率．

详解：（1）被调查的总人数为19÷38%=50人；

（2）C组的人数为50﹣（15+19+4）=12（人），

补全图形如下：

表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为360°×=108°；

（3）画树状图如下，

共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个， ∴P（恰好选中甲）=.

点睛：本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型．理解频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键．

23、（1）；（2）MB=MD．

【解析】
(1)将A(3，2)分别代入y= ，y=ax中，得a、k的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；

(2)有S△OMB=S△OAC=×=3 ，可得矩形OBDC的面积为12；即OC×OB=12 ；进而可得m、n的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系.

【详解】

（1）将A（3，2）代入中，得2，∴k=6，

∴反比例函数的表达式为．

（2）BM=DM，理由：∵S△OMB=S△OAC=×=3，

∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，

即OC·OB=12，

∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴，

∴MB=，MD=，∴MB=MD．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，掌握反比例函数系数的几何意义是解（2）的关键.

24、答案见解析

【解析】
利用已知条件容易证明△ADE≌△CFE，得出角相等，然后利用平行线的判定可以证明FC∥AB．

【详解】

解：∵E是AC的中点，∴AE=CE．

在△ADE与△CFE中，∵AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠EAD=∠ECF，∴FC∥AB．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理．通过全等得角相等，然后得到两线平行时一种常用的方法，应注意掌握运用．