2022年上海市青浦区高考二模数学试题（含答案）

青浦区2021学年第二学期高三年级测试

数学学科 试卷

                  （时间120分钟，满分150分）              2022.06

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1．已知为虚数单位，复数，则_________．

2．已知集合，，则集合_________．

3．已知角的终边过点，则的值为_________．

4．已知函数的反函数为，则_________．

5．若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为_________．

6．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为_________．

7．已知数列的前项和为，且满足，则正整数

_________．

8．一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁

下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们

的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形

容器．当时，该容器的容积为________．

9．受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）

10．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的

取值范围是_________．

11．已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．

12．已知集合，其中，函数，且对任意

，都有，则的值是_________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．“”成立的一个必要而不充分条件是…………………………………………（     ）．

（A）   （B）  （C）  （D）

14．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为………………………………………………………………………（     ）．

（A）    （B）    （C）    （D）

15．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是…………………………………………………………………………………………………………（     ）．

（A）  （B）  （C）  （D）

16．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使，，成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为…………………………………………（     ）．

（A）    （B）    （C）    （D）无穷多

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. (本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点．

（1）求该圆柱的表面积和体积；

（2）求异面直线与所成角的大小．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在△中，角的对边分别为，若.

（1）求角的大小；

（2）若，△的面积为，求的值.

19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）.

（1）写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式；

（2）设为从2020年开始年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列．

20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．

（1）若直线垂直于轴，求线段的长；

（2）若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；

（3）若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．

21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设函数，定义集合，集合

．

（1）若，写出相应的集合和；

（2）若集合，求出所有满足条件的；

（3）若集合只含有一个元素，求证：．

青浦区2021学年第二学期高三测试

　　　　　　数学参考答案                  2022.06

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1．；     2．；

3．；      4．；

5．；      6．；

7．；      8．；

9．；   10．；

11．；    12. 或3.

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.     ；14.    ； 15．   ；16. .

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1）由已知可得，

（2）解法一：

直线与所成角等于直线与所成角

取弧的中点，连接、、

在△中，

所以异面直线与所成角的大小为

18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

解：（1）由及正弦定理得

.

因为，

所以.

由于，，

所以. 又，故.

（2）由题得△的面积，故①.

而，且，故②，

由①②得.

19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1）设治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量构成数列.

当时，是首项为，公差为的等差数列，

所以；

当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，

所以，治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量的表达式为

（2）为数列的前项和，则．

由于

由（1）知，时，，所以为递减数列，

时，，所以为递减数列，

且，所以为递减数列，

于是，因此，所以数列为递减数列．

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

解：（1），令，得，所以，所以．（2）法一：设直线，，不妨设，

由得，

，，，

，

令，则，，

记，可得在上单调递增

所以当且仅当时取到，

即△面积的最大值为；

（3）①当直线不与x轴重合时，设直线，，中点为．

由得，，，

因为的重心在y轴上，所以，

所以，又，，直线，所以，从而，

代入得，所以，或．

② 当直线与x轴重合时，点C位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时．

综上，、或．

21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

解：（1），，由解得，由解得，所以，．

（2）由

，

得或，

，，而方程只有一个实数解0，所以，

即只需有唯一实数解0，所以．

（3）由条件，有唯一解，所以有解．

①若有唯一解，则，且有唯一解，结合图像可知，所以，所以．②若有两个解，则，且两个方程，总共只有一个解，结合图像可知有唯一解，所以，，所以，且的对称轴，所以，所以．

综上，．