广东省深圳市高级中学2018-2019学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题（试卷+解析）

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广东省深圳市高级中学（初中部）2018-2019学年度第二学期期末质量检测八年级数学
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 教育部公布2019年全同高考报名人数为1031万，数1031万用科学记数法表示为（　　）
A. 1.031× B. 1031× C. 1.031× D. 1.031×
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】1031万＝10310000，∴将1031万用科学记数法表示应为1.031×107．故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 已知a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）
A. ﹣3a＞﹣3b B. ＜ C. 3﹣a＞3﹣b D. a+3＞b+3
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】（A）∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，故A错误；
（B）∵a＞b，∴＞，故B错误；
（C）∵a＞b，∴3﹣a＜3﹣b，故C错误；
故选D．
【点睛】考查不等式性质的应用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．
4. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加课外体育锻炼的时间，列表如表所示：
锻炼时间（小时）
5
6
7
8
人数
3
7
4
1
则这15名学生一周在校参加课外体育锻炼时的中位数和众数分别是（　　）
A. 6.5，7 B. 7，7 C. 6.5，6 D. 6，6
【答案】D
【解析】
【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），即为这组数据的中位数；这一组数据中出现次数最多的数，即为众数．找到分别进行解答即可．
【详解】∵共有15个数，最中间数是8个数，
∴这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6；
6出现的次数最多，出现了6次，则众数是6；
故选D．
【点睛】本题关键是考查了中位数和众数的定义．
5. 下列命题中，真命题是（ ）．
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
6. 某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，用字母表示：300（1+a%）2 ，即可得出关于a的一元二次方程：300（1+a%）2＝363，解之取其正值即可得出结论．
【详解】依题意，得：300（1+a%）2＝363，
解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 下列命题正确的有（　　）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半，正确，
证明如下：如图：

∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠CAD＝30°，CD⊥AB，
∴在直角三角形ACD中，CD＝AC；
②因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以三角形至少有一个内角不大于60°正确；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确，
证明如下：

如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
④十边形内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，故错误，
正确有3个，
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识，难度不大．
8. 已知点关于原点的对称点在第一象限内，且为整数，则关于的分式方程的解是（ ）.
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【详解】因为点P（1-2a，a-2）关于原点的对称点在第一象限内，
所以点P（1-2a，a-2）在第三象限内，
所以，
所以，
又a为整数，所以a=1，
所以分式方程是，
解得x=3，经检验可知x=3是分式方程解，
故选C.
考点：1.点的坐标特点2.不等式组3.分式方程.

9. 若a2+2a+b2﹣6b+10＝0，则ba的值是（　　）
A. ﹣1 B. 3 C. ﹣3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，再利用非负数的性质求出a与b的值，再利用负指数幂，即可求出原式的值．
【详解】∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，
∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴ba＝3﹣1＝，
故选D．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10. 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若，则折痕AE的长为（ ）

A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．
【详解】解：延长EB′与AD交于点F，

∵∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕，
∴EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F，
在△AEB′和△AFB′中，，
∴△AEB′≌△AFB′，
∴AE=AF，
∴∠B′AE=∠B′AD，
∵∠BAE=∠B′AE=∠B′AD；
∴∠EAB=30°，
∴EB=EA，
设EB=x，AE=2x，
∴（2x）2=x2+AB2，x=1，
∴AE=2，
则折痕AE=2，
故选C．
【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
11. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　）

A. 1 B. C. D. ﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】如图连接EF，延长BA使得AM＝CE，则△OCE≌△OAM．

∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM，
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，
∵CE＝，
∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴点F的纵坐标为，
故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于做辅助线
12. 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DF分别交AB、AC于点E、G，连解FG，下列结论：（1）∠AGD＝112.5°；（2）E为AB中点；（3）S△AGD＝S△OCD；（4）正边形AEFG是菱形；（5）BE＝2OG，其中正确结论的个是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF，AE=EF，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG，即可得到答案，具体见详解．
【详解】因为∠GAD＝∠ADO＝45°，由折叠可知：∠ADG＝∠ODG＝22.5°．
（1）∠AGD＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；
（2）设OG＝1，则AG＝GF＝，
又∠BAG＝45°，∠AGE＝67.5°，∴∠AEG＝67.5°，
∴AE＝AG＝，则AC＝2AO＝2（+1），
∴AB＝＝2+，
∴AE≠EB，故（2）错误；
（3）由折叠可知：AG＝FG，在直角三角形GOF中，
斜边GF＞直角边OG，故AG＞OG，两三角形的高相同，
则S△AGD＞S△OGD，故（3）错误；
（4）中，AE＝EF＝FG＝AG，故（4）正确；
（5）∵GF＝EF，
∴BE＝EF＝GF＝•OG＝2OG，
∴BE＝2OG，故（5）正确．
故选B．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共6分）
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解的定义:将多项式和的形式转化为整式乘积的形式;先提公因式,再套用完全平方公式即可求解.
【详解】,
=,
=,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
14. 在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝2，若关于x的方程x2+（b﹣1）x+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是___．
【答案】5或12．
【解析】
【分析】关于x的方程有两个相等的实数根，则利用判别式的意义得到△=（b-1）2-4（b-1）=0，求出b的值，然后利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定c的值，从而得到三角形的周长．
【详解】根据题意得△＝（b﹣1）2﹣4（b﹣1）＝0，
解得b＝1或5．
当a＝2，b＝1，c＝2，△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当a＝2，b＝1，c＝1，不符合三角形三边的关系，舍去；
当a＝2，b＝5，c＝5，△ABC的周长＝2+5+5＝12；
当a＝2，b＝5，c＝2，不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，△ABC的周长为5或12．
故答案为5或12．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．
三、解答题（共8分）
15. 为了解某校落实新课改精神的情况,现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本,对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图. 
(1)参加音乐类活动的学生人数为  　人,参加球类活动的人数的百分比为 
(2)请把图2(条形统计图)补充完整; 
(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为 . 
 (4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F,G,H表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率. 

【答案】（1）7、30%;（2）补图见解析；（3）105人；（3） 
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；
（2）根据（1）中所求数据即可补全条形图；
（3）总人数乘以棋类活动的百分比可得；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
试题解析：解：（1）本次调查的总人数为10÷25%=40（人），∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7人，参加球类活动的人数的百分比为×100%=30%，故答案为7，30%；
（2）补全条形图如下：

（3）该校学生共600人，则参加棋类活动的人数约为600×=105，故答案为105；
（4）画树状图如下：

共有12种情况，选中一男一女的有6种，则P（选中一男一女）==．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
四、填空题（每小题3分，共6分）
16. 直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于x的方程：k1x+b＝k2x的解为x＝__．

【答案】﹣1．
【解析】
【分析】方程组的解为两函数图象的交点，交点坐标为（﹣1，2），因此方程k1x+b=k2x的解为x=-1．
【详解】∵直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x交于点（﹣1，2），
∴关于x的方程：k1x+b＝k2x的解为x＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握两函数图象的交点就是量函数关系式组成的方程组的解．
17. 如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为______．

【答案】（，+3）
【解析】
【分析】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，得出S矩形OABC=12，由OC=3，得出OA=4，由∠CFB=90°，C、B均为定点，F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则OF的最大值=OM+BC=+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
【详解】解：当点D与点A重合时，如图：

∵S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，
∴S矩形OABC=12，
∵C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
∴OA=4，
∵∠CFB=90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
则MF=BC=2，OM==，
∴OF的最大值=OM+BC=+2，即O、M、F三点共线，
设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，
∴（2x）2+（3x）2=（+2）2，
解得：x=（负值舍去）
∴2x=+2，3x=+3
∴点F坐标（，+3）
故答案为：（，+3）
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键．
五、解答题（共44分）
18. 计算：2（π﹣3.14）0﹣|﹣2|﹣﹣（）﹣2
【答案】﹣2﹣4．
【解析】
【分析】先算负指数幂，0次幂，绝对值，化简二次根式，再进一步合并即可．
【详解】原式＝2×1﹣（2﹣）﹣3﹣4，
＝2﹣2+﹣3﹣4，
＝﹣2﹣4．
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
19. 先化简（1﹣x﹣）÷，然后从﹣1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】﹣2．
【解析】
【分析】先化简分式，然后将x=2代入求值．
【详解】原式变形为：

∵保证原式有意义，那么x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0，
∴1，0，1，舍去，取x＝2，
原式＝2﹣2×2＝﹣2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分解因式是解题的关键．
20. 如图，已知平形四边形ABCD中，对角线AC，BD交点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为20．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AO=OC，由等边三角形三线合一的性质得出EO⊥AC，即 BD⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）由题意易得∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°，进而证得菱形是正方形，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，
即 BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC，
∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴四边形ABCD的面积＝AB2＝（2）2＝20．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键．
21. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受各方因素影响，电脑价格将不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价900元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3400元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于4.8万元且不少于4.7万元的资金购进这两种电脑共15台，则共有几种进货方案？
【答案】（1）今年三月份甲种电脑每台售价为3600元；（2）该公司共有三种进货方案，方案1：购进5台甲种电脑，10台乙种电脑；方案2：购进6台甲种电脑，9台乙种电脑；方案3：购进7台甲种电脑，8台乙种电脑．
【解析】
【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年同期甲种电脑每台售价为（x+900）元，根据数量=总价÷单价结合如果卖出相同数量的电脑去年销售额为10万元而今年销售额只有8万元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该公司可购进m台甲种电脑，则可购进（15-m）台乙种电脑，根据总价=单价×数量结合总价不多于4.8万元且不少于4.7万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各进货方案．
【详解】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年同期甲种电脑每台售价为（x+900）元，
依题意，得： ，
解得：x＝3600，
经检验，x＝3600是所列分式方程的解，且符合题意．
答：今年三月份甲种电脑每台售价为3600元．
（2）设该公司可购进m台甲种电脑，则可购进（15﹣m）台乙种电脑，
依题意，得：，
解得：5≤m≤7．
∵m为正整数，
m＝5，6，7，
∴该公司共有三种进货方案，方案1：购进5台甲种电脑，10台乙种电脑；方案2：购进6台甲种电脑，9台乙种电脑；方案3：购进7台甲种电脑，8台乙种电脑．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22. 如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．
（1）D是直线y＝2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y＝2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．

【答案】（1）D（4，14）；（2）（4，2）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】（1）根据题意可知AD＝AP，作辅助线,证明△ADE≌△PAF（AAS），求得OE,代入函数解析式即可求得D坐标,
（2）分三种情况：当∠ADP＝90°时，D在AB上方和下方,当∠APD＝90°时.设PC=m,分别表示出D点坐标,代入y＝2x﹣6,即可解题,
【详解】解；（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，
根据题意可知当△APD为等腰直角三角形时，只有∠DAP＝90°满足条件，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，
∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAD＝∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP＝∠FPA，
∴∠EAD＝∠FPA，
在△ADE和△PAF中，
,
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，
设点D的横坐标为x，由14＝2x+6，得x＝4，
∴点D的坐标是（4，14）；

（2）由点D在直线y＝2x﹣6上，可设PC＝m，
如图2所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，易得D点坐标（4，2）；

如图3所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣6，得m＝，
∴D点坐标（，）；
如图4所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，

同理可求得D点坐标（，），
D点坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．
【点睛】本题考查了一次函数与特殊的直角三角形,难度较大,熟悉分类讨论的依据是解题关键.
23. 如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；
（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；
（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．
【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；
解法1：
∵∠AED＝∠ACB＝90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD中点，
∴点F是圆心，
∴EF＝CF＝FD＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°
∴∠ECF＝45°＝∠CEF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝EF．
解法2：
易证∠BED＝∠ACB＝90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF＝EF＝FB＝FD，
∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，
∴∠DFE＝2∠ABD，
同理∠CFD＝2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，
即∠CFE＝90°，
∴CE＝EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠GBF，
又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，
∵AC＝BC，
∴CE＝CG，
∴∠EFC＝90°，CF＝EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝FE；
解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，
又点F是BD的中点，
∴FA＝FB＝FD，
而AC＝BC，CF＝CF，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，
∵FA＝FB，CA＝CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝EF．
（3）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，
∵DF＝BF，
∴FM∥AB，且FM＝AB，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，
∴AM＝EM，∠AME＝90°，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°
∴CN=AN=AB，∠ANC＝90°，
∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，
∴四边形MFNA为平行四边形，
∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，
∴∠EMF＝∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，
∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，
∴∠FCN+∠PFC＝90°，
∴∠EFM+∠PFC＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝FE．
【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．