江苏省无锡市新吴区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

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2020—2021学年第二学期期末考试卷初二数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件建立不等式求解即可．
【详解】根据被开方数为非负数得：，解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟记基本性质是解题关键．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、只是中心对称图形，不合题意；
C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．
故选A．
考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形．
3. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 一箭双雕 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 旭日东升
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件进行逐一判断即可．
【详解】解：A、一箭双雕这是不一定会发生的事件，故不符合题意；
B、守株待兔这是不一定会发生的事件，故不符合题意；
C、水中捞月这是不可能发生的事件，故不符合题意；
D、旭日东升这是必然会发生的事件，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了必然事件，解题的关键在于能够熟练掌握必然事件的定义．
4. 下列分式中属于最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的概念是解题关键．
5. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点，则下列结论中错误的是（ ）

A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是正方形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、当∠ABC=90°时，可以得到平行四边形ABCD是矩形，不能得到正方形，故错误，
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
6. 在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（　　）
A. 抽取乙校初二年级学生进行调查
B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查
C. 随机抽取150名老师进行调查
D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽样调查的代表性和广泛性逐项进行判断即可得．
【详解】A. 抽取乙校初二年级学生进行调查，不具有广泛性；
B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查，不具有代表性；
C. 随机抽取150名老师进行调查，与考查对象无关，不可取；
D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查，具有代表性和广泛性，合理，
故选D．
【点睛】本题考查了抽样调查，样本的确定，解题的关键是要明确抽样调查的样本要具有代表性和广泛性.
7. 在中，分别为边上的中点，连接到，使得，连接，则长为（ ）

A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，进而求出AE、EB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到∠AED=∠AED=60°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，
∵E为AB边上的中点，
∴AE=EB=4，
∵D、E分别为AC、AB边上的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠AED=60°，
∴∠BEF=∠ABC=60°，
在Rt△AED中，∠A=30°，
∴AE=2DE，
∵EF=2DE，
∴AE=EF，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8. 已知一次函数的图像经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ ）
A. 图像在一、三象限 B. 随的增大而减小
C. 随的增大而增大 D. 当时，
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的图像经过的象限即可得到k＜0，b＞0，则，由此即可判断反比例函数图像的性质．
【详解】解：∵一次函数的图像经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴，
∴反比例函数经过一、三象限，当时，，函数在第一象限随的增大而减小，在第三象限随的增大而减小，故只有A选项符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够准确根据一次函数图像的性质得到．
9. 已知：，则的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先进行配方，得出a+b以及a-b的值，进而求出答案．
【详解】解：∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴（a-b）2=ab，（a+b）2=5ab，
∴a+b＞0，a-b＞0，
∴的值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方的使用求分式的值，正确配方是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM，
∴ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOF＝9，
∴S△FME＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，
，
∵点F在第二象限，
∴k＝-12．
故选：B．

【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BD∥AE，利用等积法求出三角形面积．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11. 给出下列3个分式：，它们的最简公分母为__________．
【答案】a2bc
【解析】
【详解】解：观察得知，这三个分母都是单项式，确定这几个分式最简公分母时，相同字母取次数最高的，不同字母连同它的指数都取着，系数取最小公倍数，所以它们的最简公分母是a2bc．
故答案为：a2bc．
12. 当x＝_____时，分式值为零．
【答案】2
【解析】
【详解】由题意得： ，解得：x=2. 故答案为2
13. 一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子，若抛到偶数的概率记作，抛到奇数的概率记作，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式求出P1，P2的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得出：
一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有1~6的点数，偶数有2、4、6共3个，奇数有1、3、5共3个，
抛到偶数的概率为P1=；
抛到奇数的概率为P2=，
故P1与P2的大小关系是：P1=P2．
故答案为：P1=P2．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式求出是解题关键．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14. 已知实数、满足，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由绝对值与算术平方根的非负性可得：且 再把求解得到的的值代入，分母有理化后可得答案.
【详解】解： ，
且


故答案为：
【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，二次根式的除法运算，熟悉分母有理化是解题的关键.
15. 如图，面积为5的矩形的一个顶点在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】解：∵面积为5的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图像上，
∴S=|k|=5，
∴k=±5，
又∵反比例函数位于第四象限，k＜0，
∴k=-5．
故答案为：-5．
【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______．

【答案】96
【解析】
【分析】由菱形的性质得OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，则AC=16，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=16，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH=2×6=12，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×16×12=96，
故答案为：96．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
17. 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为______．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出反比例函数和一次函数的解析式，然后根据反比例函数的对称性求出另一个交点坐标，最后利用图像法求解即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，
由反比例函数的对称性可知，一次函数与反比例函数的另一个交点为（-3，1），
∴两者的函数图像如下所示，
∵关于的不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数上图上方的x的取值，
∴由函数图像可知当或时一次函数图像在反比例函数上图上方，
∴关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，利用图形法解不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，证得当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长，过点M作MG⊥AB于点G，证明Rt△ABE≌Rt△MGN，得到△AEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，连接AF，如图：

则四边形MNEF为平行四边形，
∴MN=EF，MF=NE，MN∥EF，
∴AM+NE=AM+ MFAF，
∴当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF长，
过点M作MG⊥AB于点G，MN与AE相交于点O，如图：

∵四边形ABCD是正方形，MN⊥AE，
∴∠AON=∠B=90°，AB=BC=MG，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△ABE≌Rt△MGN，
∴AE=MN，
∵MN=EF，MN∥EF，
∴AE=MN=EF，AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，
由勾股定理得AE=，
∴AF=，
即AM+NE的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，正确的确定当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共74分）
19. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）分别计算：，再合并同类二次根式即可；
（2）先分母有理化化简再计算，再合并即可.
【详解】解：（1）原式
（2）原式

【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减乘除及混合运算，熟悉二次根式运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.
20. （1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）原方程无解．
【解析】
【分析】（1）先通分，最简公分母为，再按照同分母分式的加法进行运算即可；
（2）方程两边都乘以 去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可得到答案.
【详解】解：（1）原式
（2）解：去分母得：
整理得：

解得：
经检验为原方程的增根
∴原方程无解
【点睛】本题考查的是分式的加法运算，分式方程的解法，熟悉通分，计算分式的加法，熟悉去分母把分式方程化为整式方程是解题的关键.
21. 化简代数式，并求当时此代数式的值．
【答案】，．
【解析】
【分析】先通分计算括号内的分式的加法运算，再把能够分解因式的分子或分母分解因式，同时把除法转化为乘法，约分后可得结果，再把代入化简后的代数式可得答案.
【详解】解：原式
当时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟悉分式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.
22. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：

根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图
（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数
【答案】略；m=40， 14．4°；870人．
【解析】
【详解】试题分析：根据A组的人数和比例得出总人数，然后得出D组的人数，补全条形统计图；根据C组的人数和总人数得出m的值，根据E组的人数求出E的百分比，然后计算圆心角的度数；根据D组合E组的百分数总和，估算出该校的每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
试题解析：（1）补全频数分布直方图，如图所示．

（2）∵10÷10%=100 ∴40÷100=40% ∴m=40
∵4÷100=4% ∴“E”组对应的圆心角度数=4%×360°=14．4°
（3）3000×（25%+4%）=870（人）．
答：估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
考点：统计图．
23. 如图，在中，延长到点，使得，连接、

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积为．
【解析】
【分析】（1）先根据四边形是平行四边形，得到，，即可证，，由此即可证明；
（2）先根据三线合一定理得到，得到是矩形，利用勾股定理求出，由此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
∴（舍去）
∵
∴是矩形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．
【解析】
【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；
（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.
【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元
由题意得：
解之得：
经检验为原方程的解
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，
由题意得：
解之得：
答：剩余的笔记本每本最低打七五折
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.
25. 如图1，在矩形中，，，是边上一点，将沿着直线折叠，得到．

（1）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为______；
（2）请在图3上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），此时△EPB的面积为______．
【答案】（1）作图见解析；；（2）作图见解析；．
【解析】
【分析】（1）如图（以为圆心，长为半径作弧，此弧与交于点）过B为圆心BP长为半径画弧交CP于H，在分别以P、H为圆心，以BP长为半径画弧，两弧交于F，连结BF，交PC于E，证明△APB沿BP折叠后与△EPB重合，可得点P，E，C在同一直线上，可求BE=AB=6，PC=BC=10，设AP=，则PE=，CE=10-,在Rt△BCE中，，即解方程即可；
（2）如图（以为边向右作等边三角形，作的角平分线与交于点）证明BE平分∠PBC，由∠ABP=30°，∠BAP=90°，可得BP=2AP，在Rt△ABP中，即，解得AP=即可．
【详解】（1）如图（以为圆心，长为半径作弧，此弧与交于点）过B为圆心BP长为半径画弧交CP于H，在分别以P、H为圆心，以BP长为半径画弧，两弧交于F，连结BF，交PC于E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，∠PEB=90°，
∴∠APB=∠PBC，∠A=∠PEB，
∵BC=PC，
∴∠PBC=∠BPE=∠APB，
在△APB和△EPB中，
，
∴△APB≌△EPB（AAS），
∴AP=EP ,AB=EB,
∴△APB沿BP折叠后与△EPB重合，
∴点P，E，C在同一直线上，
∵，，
∴BE=AB=6，PC=BC=10，
设AP=，则PE=，CE=10-
在Rt△BCE中，，即
解得
∴
故答案为2；

（2）如图（以为边向右作等边三角形，作的角平分线与交于点）
∵△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABP=∠EBP=
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBC=90°-∠ABE=90°-60°=30°=∠PBE，
∴BE平分∠PBC，
∵∠ABP=30°，∠BAP=90°，
∴BP=2AP，
在Rt△ABP中，即，
解得AP=，
∵折叠，
∴PE=AP=，BE=AB=6，
∴S△PBE=．
故答案为．

【点睛】本题考查尺规作图，勾股定理，三角形全等判定与性质，等边三角形性质，矩形性质，掌握尺规作图，勾股定理，三角形全等判定与性质，等边三角形性质，矩形性质，尺规作图，勾股定理，三角形全等判定与性质，等边三角形性质，矩形性质是解题关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．

（1）若，求点的坐标；
（2）连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；（2）①；（3）②不存在．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k，再求出，代入反比例函数解析式即可；
（2）①设，则可推出，然后由得到，即可求出，从而求解；
②当，可证，得到，则由①可知，，则点则，，得，由此求解即可．
【详解】（1）∵在正方形中，，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴OB=2，
∵在的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
∴将代入中，得：，
∴点的坐标为；
（2）①设，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
解得，
∴；
②不存在，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，

∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
由①可知，，则点
∴，
∴得
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．

（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；
（2）如果．
①当点落在上时，求的长；
②请直接写出最小值．
【答案】（1），；（2）①的长为；②最小值为2．
【解析】
【分析】（1）如图，连接 过作于 证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解 从而可得答案；
（2）①如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 结合 利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解 再求解 从而可得答案；②如图，作直线 交于 过作于 过作于 先证明在直线上运动，再求解直线的解析式，可得为则 当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得： 再利用直角三角形的性质可得 从而建立方程求解 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，连接 过作于

是等边三角形，



如图，当轴于时，而

同理可得：为等边三角形，



故答案为：
（2）①如图，当点落在上时，
同理可得：为等边三角形，
过作于 则




解得： （负根舍去）




②如图，作直线 交于 过作于 过作于
由旋转与矩形的性质可得：




点旋转后落在直线上，
由矩形
四边形是矩形，



设 则
设为
则 解得：
为
结合①问可得点在直线上，

为则
当旋转到与重合时，最短，如图，

由旋转可得：









所以的最小值为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.