广东省广州市荔湾区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

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2021年广州市荔湾区八年级数学下学期期末试卷
本试卷共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含开方开得尽的因数或因式，不含分数或分式．
【详解】解：A. =2 ，
B. = ，
C. 不能化简，
D. =
故选：C．
2. 下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则即可解答．
【详解】解：A，不能直接运算，故A错误；
B，，故B错误；
C，不能直接运算，故C错误；
D，，故D正确．
【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，灵活应用二次根式的性质和运算法则是解答本题的关键．
3. 一次函数y=2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数y=2x+1中k=2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
根据一次函数的图像即可判断函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
4. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【4题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）


A 150° B. 130° C. 120° D. 100°
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选：C．
6. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A. 4 B. 16 C. D. 4或
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】当3和5都是直角边时，第三边长为：=；
当5是斜边长时，第三边长为：=4．
故选：D．
7. 平行四边形的两条对角线长分别为6和10，则平行四边形的一条边的长x的取值范围为( )
A. 4＜x＜6 B. 2＜x＜8 C. 0＜x＜10 D. 0＜x＜6
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】平行四边形的两条对角线相交和平行四边形的一边构成三角形，这个三角形的两条边是3，5，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足，解得即可．
【详解】如图，

∵平行四边形ABCD
∴OA=OC=3，OB=OD=5
∴在△AOB中，OB-OA＜x＜OB+OA
即：2＜x＜8
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，确定所求边所在三角形其他两边的长度，进而应用三边关系确定范围是解题的关键．
8. 对于数据3，3，2，3，9，①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数的概念，中位数的概念，平均数的概念，求得数据的众数、中位数、平均数，逐项分析判断即可
【详解】对于数据3，3，2，3，9
众数为：3
将这组数据重新按从小到大的顺序排列：2，3，3，3，9
中位数为：3
平均数为 ：
①这组数据的众数是3，正确；
②这组数据的众数与中位数的数值不等，不正确；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等，不正确；
④这组数据的平均数与众数的数值相等，不正确
正确的是①，共计1个
故选A
【点睛】本题考查了众数的概念，中位数的概念，平均数的概念，根据概念求得众数、中位数、平均数是解题的关键．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
9. 两直线解析式分别为y＝5x—8与y＝—3x，则两直线与x轴围成的三角形面积为（ ）
A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 4.8
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先求出y＝5x—8与y轴的交点于点A，再求出两个直线的交点于点B，即可得出底OA与高BD，从而求出所要求三角形的面积．
【详解】解：令，即，
解得：，
则交点为，
∵两条直线有交点，
∴有，
解得：，
则交点为，
过点B作x轴的垂线交于点D，
则
可得：．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点以及一次函数与二元一次方程组的关系，清楚函数的坐标特征并能找到对应图形是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（ ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【10题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，

∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故选C．
【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
【11题答案】
【答案】
【解析】
【详解】解：∵实数范围内有意义
∴
∴
故答案为
12. 已知一次函数y=x+4的图象经过点（m，6），则m=_____．
【12题答案】
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：直接把点（m，6）代入一次函数y=x+4即可求解．
解：∵一次函数y=x+4的图象经过点（m，6），
∴把点（m，6）代入一次函数y=x+4得
m+4=6
解得：m=2．
故答案为2．
13. 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．

【13题答案】
【答案】3
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3．
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，且∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=3，
∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=EF=3
故答案为3
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
14. 若甲组数据1，2，3，4，5的方差是S甲2，乙组数据6，7，8，9，10的方差是S乙2，则S甲2_______ S乙2（填“＞”、“＜”或“＝”）
【14题答案】
【答案】=
【解析】
【分析】先求各组平均数，再根据方差公式计算，比较计算结果即可得出答案.
【详解】∵甲组的平均数：
∴甲组的方差：
∵乙组的平均数：
∴乙组的方差：
∴
故答案为：=.
【点睛】本题考查的是方差，熟记方差的公式是解决本题的关键.
15. 直线y=﹣2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则b的值为_________．
【15题答案】
【答案】±2
【解析】
【详解】分析：直线y=-2x+b与x轴的交点为（，0），与y轴的交点是（0，b），由题意得，×|×b|=1，求解即可．
详解：∵直线y=-2x+b与x轴的交点为（，0），与y轴的交点是（0，b），直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1，
∴×|×b|=1，
解得：b=±2．
故答案为±2．
点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．
16. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．


【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：过点F作FG⊥AD,垂足为G,连接AA′.


在Rt△EFG中，EG=，
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH=90∘，
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG=90∘，
∴∠DAA′=∠GFE，
在△GEF和△DA′A中，
，
∴△GEF≌△DA′A，
∴DA′=EG=5，
设AE=x,由翻折的性质可知EA′=x，则DE=12−x，
在Rt△EDA′中，由勾股定理得：A′E2=DE2+A′D2,即x2=(12−x)2+52，
解得：x=，
故答案为，
【点睛】本题主要考查正方形、轴对称、全等三角形的性质及勾股定理等相关知识.利用辅助线构全等形、利用勾股定理建立方程是解题的关键.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行运算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
=
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
18. 已知 x=2-,y=2+，求代数式x²+2xy+y²的值.
【18题答案】
【答案】16
【解析】
【详解】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x² +2xy+y² =(x+y)²，
∴当x=2−，y=2+时，
∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−+2+)²=16.
19. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF是平行四边形．


【19题答案】
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形的性质可得:AD∥BC,AB∥CD，∠CDB=∠ABD，根据DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，利用角平分线的定义可得∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，进而可得∠FDB=∠EBD，根据平行线的判定可得:DF∥BE，据AD//BC，即ED∥BF，利用平行四边形的判定可得:四边形DEBF是平行四边形；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，
∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，
∴∠FDB=∠EBD，
∴DF//BE，
∵AD//BC，即ED//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和平行四边形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质和判定.
20. 如图，已知直线与直线相交于点.

（1）求、的值；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集.
【20题答案】
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）把点P的坐标分别代入l1与l2的函数关系式，解方程即可；
（2）利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可.
【详解】解：（1）因为点P是两条直线的交点，所以把点分别代入与中，得，，解得，.
（2）当时，的图象在的上面，
所以，不等式的解集是.
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题和一次函数与一元一次不等式的关系，读懂图象，弄清一次函数图象的交点与解析式的关系和一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键.
21. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

【21题答案】
【答案】17、20；2次、2次；；人．
【解析】
【分析】(1)先由借阅1次人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
(2)根据中位数和众数的定义求解；
(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【详解】被调查的总人数为人，
，，即，
故答案为17、20；
由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为2次、2次；
扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；
估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.
22. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．

【22题答案】
【答案】AB＝2－2，CD＝4－.
【解析】
【分析】此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.
详解】
如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.
∵∠B＝90°，
∴四边形HBMD是矩形.
∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝60°，
∴∠ADH＝∠MDC＝30°，
∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝AD＝，DH＝.
∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－＝.
∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－，DM＝×CD＝.
∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝－＝
【点睛】本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质.此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形.
23. “地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
65
5
售价（元/件）
90
10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1250元，请说明当x为何值时利润最大，最大利润是多少？
【23题答案】
【答案】（1）；（2）；（3）当x＝50时，利润最大，利润最大值为元．
【解析】
【分析】（1）由甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；
（2）由用不超过3500元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解；
（3）由获得的利润不少于1250元，列出不等式可求x的范围，由一次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：小明购进甲商品x件，则乙商品件，
则，
即y与x之间的函数关系式：；
（2）由题意可得：，
∴解之得：，
又∵，
∴；
（3）由题意可得：，
∴解得：，
∴，
∵由（1）可知利润为：，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴利润最大值为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目，找到正确的数量关系是本题的关键．
24. 如图，已知平面直角坐标系中，A（1，0），C（0，2），现将线段CA绕A点顺时针旋转90°得到点B，连接AB．
（1）求出直线BC的解析式；
（2）若动点M从点B出发，沿线段BC以每秒个单位的速度运动，过点M作MN∥AB交y轴于N，连接AN．设运动时间为t秒，当四边形ABMN为平行四边形时，求t的值；
（3）P为直线BC上一点，若在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形，请直接写出点Q的坐标．

【24题答案】
【答案】（1）； （2） ；（3）满足条件的点Q的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）如图1，过点B作轴于点H，可证明，可得BH=OA=1，AH=OC=2，可求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用平行四边形性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题；
（3）根据在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形，如图3中，OB为菱形的边，可得菱形OBP1Q1，菱形OBP2Q2，分别求解即可解决问题．
【详解】（1）如图1，过点B作轴于点H，


∵A（1，0），C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵线段CA绕A点顺时针旋转90°得到点B，
∴ ，AC=AB，
∴ ， ，
∴，
∴ ，
∴BH=OA=1，AH=OC=2，
∴OH=OA+AH=3，
∴B（3，1），
设直线的解析式为 ，则
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）
∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AN//BM，
可设 ，
∵A（1，0），代入得： ，即 ，
∴直线AN的解析式为： ，
∴N（0， ），即 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 时，四边形ABMN时平行四边形；
（3）如图，

∵P为直线BC上一点，若在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形，
∴OB为菱形的边，可得菱形OBP1Q1，菱形OBP2Q2，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 设，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∴，解得： 或-3，
则有，，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25. 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC翻折至△EPC，延长CE交射线AD于点D．
（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；
（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；
（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点．当QG＝2时，求QH的值．

【25题答案】
【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠A=∠B=90°，由折叠的性质得到∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，根据全等三角形的性质得到．作于，设，根据AB＝BC＝12，得到，，根据勾股定理求出AD的长；
（2）如图2，过C作CK⊥AD交AD的延长线于K，推出四边形ABCK是正方形，求得CK=CB，根据折叠的性质得到∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，得到CE= CB= CK，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，将△OQG沿OM翻折至△OUG，将△OQH沿ON翻折至△OWH，延长UG，WH交于V，根据已知条件和折叠的性质，利用有三个角是直角的四边形是矩形和邻边相等的矩形是正方形，推出四边形UOWV是正方形，设QH=y，在中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，连结，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°
∵将△BPC沿PC翻折至△EPC，
∴∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，
∴∠DEP=90°
∵当P为AB的中点，
∴AP=BP
∴PA=PE
∵PD=PD
∴，
∴
作于，设，AB＝BC＝12，则，
由勾股定理得，
解得，
∴

（2）如图2，作交延长线于，
∴
∴四边形为矩形
又∵AB＝BC
∴矩形为正方形
∴CK=CB，∠BCK=90°
∵将△BPC沿PC翻折至△EPC，
∴∠FED=90°，CE= CB= CK，
又∵CF=CF
∴，
∴∠ECF=∠KCF
∴∠BCP+∠KCF=∠PCE+∠FCE=45°
∴∠PCF=45°

(3)如图3，将△OQG沿OM翻折至△OUG，将△OQH沿ON翻折至△OWH，延长UG，WH交于V，
∴∠UOG=∠QOG，∠WOH=∠QOH，OU=OQ=OW=8，UG=QG=2，
设QH=WH=y
∴ ∠UOW=2∠MON=90°，
∵GH⊥OQ
∴∠OQG=∠OQH=90° ．
∴∠U=∠W=90°=∠UOW，
∴四边形UOWV是正方形
∴UV=WV=8，∠V=90°，
∴GV=6，HV=8-y，GH=y+2
∴
∴
解得，即．

【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．