2022年上海市嘉定区高考二模数学试题（含答案）

2021学年第二学期高三年级模拟练习

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合，，则____________．

2．不等式的解为____________．

3．若等差数列满足，则____________．

4．已知函数，它的反函数为，则____________．

5．在展开式中，的系数为_____________（结果用数值表示）．

6．若实数、满足，则的最大值为_______．

7．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．

已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．

8．若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列

各项的和为，则实数的值为          ．

9．从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数，则这个不同的数的中位数为的概率为_____________（结果用最简分数表示）．

10．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为____________．

11．已知椭圆  (为参数，，)的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为_______________．

12．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在

    答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（    ）．

（A）充分非必要条件                   （B）必要非充分条件

（C）充要条件                         （D）既非充分又非必要条件   

14．若、，且，则的最小值为                            （    ）．

（A）        （B）      （C）        （D）      

15．在中，，．若，则    （    ）．

（A）        （B）       （C）        （D） 

16．在正方体中，、分别是线段、上的动点，且直线与所成的角为，则下列直线中与所成的角必为的是        （    ）．

（A）       （B）       （C）        （D）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的

步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求：

（1）该圆锥的表面积；

（2）直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设常数，函数．

（1）若函数是偶函数，求实数的值；

    （2）若对任意，，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设 （）．

（1）当时，求的面积；

（2）求灯杆与灯柱长度之和（米）关于的函数解析式，并求当为何值时，取得最小值．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知双曲线 （）的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若点是线段的中点，求点的坐标；

（3）设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若项数为（且）的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”．

（1）判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由；

①；      ②．

（2）设 （），若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；

（3）已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数的一个排列，且，求的所有可能的值．

2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷

参考答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．   2． 3．       4．       5．             6．     

7．      8．         9．     10．     11．     12．

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B          14．A        15．B         16．C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）  解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由已知，得OA＝2，PO＝6，则 ． 

所以圆锥的侧面积为，  

于是圆锥的表面积为．

即所求圆锥的表面积为．

（2）联结．由题意得平面，因为平面，

所以．又因为点是底面直径所对弧的中点，所以．

而 、平面，，所以平面．即是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角．

  在中，,，

则，所以．

因此直线与平面所成角的大小为．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）函数的定义域为．

因为函数是偶函数，所以．

即  ， 即 ，

即 ．因为，所以 ，解得 ．

因此所求实数的值为．

（2）因为，即 ，因为 ，可得 ．

令 ，因为 ，所以的取值范围是，

于是 对任意都成立．

令函数，它在区间上是增函数，

所以当时，函数的最小值， 则得，解得．

所以所求实数的取值范围是 ．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）因为，，所以．由题意得 ，

所以，因此是等边三角形，所以．

在中，由正弦定理得 ，即 ，

解得 ，

所以的面积等于 （平方米）．

答：的面积等于平方米．

（2）因为，，所以．

又因为灯柱与地面垂直，即 ，所以 ．

因为 ，所以 ．

在中，由正弦定理得 ，即，

解得 ．

又在中，由正弦定理得 ，

即，解得 ，，…4分

则得 ，

所以 ，

化简得 ，（）．

因为，则得 ，

所以当，即时，（米）．

答：关于的函数解析式为，（），且当时，取得最小值．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

（1）解：由题意得，解得  ，

所以双曲线的标准方程为．

（2）设．因为是线段的中点，所以．

则得，，解得 ，

所以所求点的坐标为 或 ．

（3）证明：由题意可设直线的方程为．

联立方程组，消去，并整理得

（）．

设，

由一元二次方程根与系数的关系，得 ．

又设，  （），则得直线的方程为 ，

直线的方程为  ，两个方程相减得

                      ①  

因为，

把它代入①得  ，

所以．

因此直线与的交点在直线上．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

（1）解：①因为，即，所以该数列不是数列；

②因为，即，所以该数列是数列．

（2）证明：先证必要性：

若数列为等差数列，设它的公差为，则．

所以数列为常数列．  

然后证充分性：

若数列为常数列，则，

即．

所以或．

因为数列的各项互不相同，所以，即，

即，

由等差数列的定义知，数列为等差数列．

（3）解：当时，因为，所以，不符合题意；

当时，存在数列为（或），，符合题意；

当时，存在数列为（或），，符合题意；

下面证明当时，不存在数列满足题意．

令 （），则 ，

且，所以 （）共有以下三种可能：

①；②；

③．   

当时，因为，且各不相同，

由（2）知 或者是公差为的等差数列或者是公差为的等差数列．

若数列的公差为，则．

因为，则得或 ，

所以 或 ，均与已知条件相矛盾；

若数列的公差为，则．

因为，则得 或 ，

所以 或 ，均与已知条件相矛盾．

因此当时，不存在数列满足题意．

其它情况同理可得．

综上可知，的所有取值为或．