2023年高考数学(理数)一轮复习课时15《导数与函数的极值、最值》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时15

《导数与函数的极值、最值》达标练习

一 、选择题

1.已知函数f(x)=(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　　)

A.－1        B.        C.          D.＋1

【答案解析】答案为：A

解析：由f(x)=得f ′(x)=.当a＞1时，若x＞，则f ′(x)＜0, f(x)单调递减；若1＜x＜，则f ′(x)＞0, f(x)单调递增.故当x=时，函数f(x)有最大值=，得a=＜1，不合题意；当a=1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)=，不合题意；当0＜a＜1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)==，得a=－1，符合题意，故a的值为－1.选A.

2.函数f(x)=x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)

A.20          B.18           C.3                D.0

【答案解析】答案为：A

解析：对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，

等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t.

∵f(x)=x3－3x－1，∴f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x＋1)，

∵x∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，

∴f(x)max=f(2)=f(－1)=1，f(x)min=f(－3)=－19，

∴f(x)max－f(x)min=20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20，故选A.

3.已知函数f(x)=x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　 　)

A.         B.         C.          D.

【答案解析】答案为：C；

解析：由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，

因此1＋b＋c=0,8＋4b＋2c=0，解得b=－3，c=2，所以f(x)=x3－3x2＋2x，

所以f′(x)=3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)=3x2－6x＋2=0的两根，

因此x1＋x2=2，x1x2=，所以x＋x=(x1＋x2)2－2x1x2=4－=.

4.若函数f(x)=e－x·，则(　　)

A.仅有极小值          B.仅有极大值

C.有极小值0，极大值          D.以上皆不正确

【答案解析】答案为：B

解析：f′(x)=－e－x·＋·e－x=e－x（-＋）=e－x·.

令f′(x)=0，得x=.当x>时，f′(x)<0；当x<时，f′(x)>0.

∴x=时取极大值，f（）=·=.故选B.

5.函数f(x)=x2－5x＋2ex的极值点所在的区间为(　　)

A.(0，1)                             B.(－1，0)       C.(1，2)                             D.(－2，－1)

【答案解析】答案为：A；

解析：∵f′(x)=2x－5＋2ex为增函数，f′(0)=－3＜0，f′(1)=2e－3＞0，

∵f′(x)=2x－5＋2ex的零点在区间(0，1)上，

∴f(x)=x2－5x＋2ex的极值点在区间(0，1)上.

6.当函数y=x·2x取极小值时，x=(　 　)

A.         B．－       C．－ln2         D．ln2

【答案解析】答案为：B.

解析：y′=2x＋x·2xln2=0，∴x=－.

7.已知函数f(x)=x(x－m)2在x=1处取得极小值，则实数m=(　　)

A.0　          B.1        C.2          D.3

【答案解析】答案为：B

解析：f ′(x)=(x－m)2＋2x(x－m)=(x－m)·(3x－m).由f ′(1)=0可得m=1或m=3.

当m=3时， f ′(x)=3(x－1)(x－3)，当1＜x＜3时， f ′(x)＜0；

当x＜1或x＞3时， f ′(x)＞0.此时在x=1处取得极大值，不合题意.

所以m=1，此时f ′(x)=(x－1)(3x－1)，当＜x＜1时， f ′(x)＜0；

当x＜或x＞1时， f ′(x)＞0.此时在x=1处取得极小值.选B.

8.已知函数f(x)=x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)

A.－，0　    B.0，－         C.，0        D.0，

【答案解析】答案为：C

解析：由题意知， f ′(x)=3x2－2px－q，由f ′(1)=0, f(1)=0得

解得p=2，q=－1，∴f(x)=x3－2x2＋x.

由f ′(x)=3x2－4x＋1=0，得x=或x=1，易知当x=时， f(x)取极大值，

当x=1时， f(x)取极小值0.

9.函数f(x)=x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)

A.20          B.18         C.3         D.0

【答案解析】答案为：A

解析：对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，

等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t.

∵f(x)=x3－3x－1，∴f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x＋1)，

∵x∈[－3,2]，

∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，

∴f(x)max=f(2)=f(－1)=1，f(x)min=f(－3)=－19，

∴f(x)max－f(x)min=20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20.故选A.

10.已知函数f(x)=xlnx－aex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A.       B.(0，e)         C.      D.(－∞，e)

【答案解析】答案为：A；

解析：f(x)=xlnx－aex(x＞0)，∴f′(x)=lnx＋1－aex(x＞0)，

由已知函数f(x)有两个极值点可得y=a和g(x)=在(0，＋∞)上有两个交点，

g′(x)=(x＞0)，令h(x)=－lnx－1，则h′(x)=－－＜0，

∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)=0，

∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增，

g(x)≤g(1)=，当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，

即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)max=g(1)=，

而x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0；

若y=a和g(x)在(0，＋∞)上有两个交点，只需0＜a＜.

11.设函数f(x)=x(ln x－ax)(a∈R)在区间(0,2)上有两个极值点，则a的取值范围是(　　)

A.(- ,0)       B.(0,)     C.(,1)       D.(,)

【答案解析】答案为：D

解析：f(x)=x(ln x－ax)，求导f′(x)=ln x－2ax＋1，

由题意，关于x的方程2ax=ln x＋1在区间(0,2)有两个不相等的实根，

则y=2ax与y=ln x＋1有两个交点，由y=ln x＋1，求导y′=，

设切点(x0，y0)，=，解得x0=1，∴切线的斜率k=1，则2a=1，a=，

则当x=2，则直线斜率k=，则a=，

∴a的取值范围为(,).故选D.

12.已知直线y=a分别与函数y=ex＋1和y=交于A，B两点，则A，B之间最短距离是(  　)

A.        B.       C.        D.

【答案解析】答案为：D.

解析：由y=ex＋1得x=lny－1，由y=得x=y2＋1，

所以设h(y)=|AB|=y2＋1－(lny－1)=y2－lny＋2，

h′(y)=2y－=，当0<y<时，h′(y)<0，

当y>时，h′(y)>0，即函数h(y)在区间上单调递减，

在区间上单调递增，所以h(y)min=h=2－ln＋2=，故选D.

二 、填空题

13.已知函数y=f(x)=x3＋3ax2＋3bx＋c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x＋2y＋5=0，则f(x)的极大值与极小值之差为________.

【答案解析】答案为：4

解析：因为y′=3x2＋6ax＋3b，

⇒

所以y′=3x2－6x，令3x2－6x=0，则x=0或x=2.

所以f(x)极大值－f(x)极小值=f(0)－f(2)=4.

14.设函数f(x)=x3＋ax2＋bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于点M(1,4)，则y=f(x)在区间(0,4]上的最大值为　　；最小值为　　.

【答案解析】答案为：4,0；

解析：f′(x)=3x2＋2ax＋b(x＞0).

依题意，有即解得

所以f(x)=x3－6x2＋9x.令f′(x)=3x2－12x＋9=0，解得x=1或x=3.

当x变化时，f′(x)，f(x)在区间(0,4]上的变化情况如下表：

所以函数f(x)=x3－6x2＋9x在区间(0,4]上的最大值是4，最小值是0.

15.若函数f(x)=x3－3x在区间(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是________.

【答案解析】答案为：[－2,1)

解析：若f′(x)=3x2－3=0，则x=±1，且x=1为函数的极小值点，x=－1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a＜1＜6－a2且f(a)=a3－3a≥f(1)=－2.解a＜1＜6－a2，得－＜a＜1.不等式a3－3a≥f(1)=－2，即a3－3a＋2≥0，a3－1－3(a－1)≥0，(a－1)(a2＋a－2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0，即a≥－2，故实数a的取值范围为[－2,1).

16.若函数f(x)=aln x－x＋在定义域内无极值，则实数a的取值范围为________.

【答案解析】答案为：[－3，6]

解析：函数f(x)=aln x－x＋在定义域(0，＋∞)内无极值等价于f′(x)≥0

或f′(x)≤0在定义域(0，＋∞)内恒成立.

因为f′(x)=－1－=，

设g(x)=－x2＋ax－(a＋3)，则g(x)≥0或g(x)≤0在(0，＋∞)内恒成立，

可分两种情况进行讨论，即方程g(x)=－x2＋ax－(a＋3)=0无解或只有小于等于零的解，

因此Δ≤0或解得－2≤a≤6或－3≤a≤－2.

故实数a的取值范围为[－3，6].