2023年高考数学(理数)一轮复习课时26《平面向量的数量积》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时26

《平面向量的数量积》达标练习

一 、选择题

1.已知矩形ABCD中，AB=，BC=1，则·=(　　)

A.1        B.－1       C.        D.2

【答案解析】答案为：B；

解析：设=a，=b，则a·b=0，∵|a|=，|b|=1，

∴·=(a＋b)·(－b)=－a·b－b2=－1.故选B.

2.已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，

则实数λ的值为(　 　)

A.－7        B.－3       C.2        D.3

【答案解析】答案为：D.

解析：依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，由(a＋λb)·(2a－b)＝0，

得2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，即－3λ＋9＝0，解得λ＝3.

3.在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)

A.4        B.5  C.2        D.3

【答案解析】答案为：C.

解析：∵＝(2,2)，∴||＝＝2.

∵·＝||·||cosA＝2×2cosA＝－4，

∴cosA＝－，∵0<A<π，∴sinA＝，

∴S△ABC＝||·||sinA＝2.故选C.

4.在△ABC中，|＋|=|－|，||=||=3，则·的值为(　　)

A.3         B.－3           C.－           D.

【答案解析】答案为：D

解析：由|＋|=|－|两边平方可得，2＋2＋2·=3(2＋2－2·)，即2＋2=4·，又||=||=3，所以·=，

又因为=－，所以·=(－)·(－)=2－·=9－=.故选D.

5.已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)且(a－b)⊥b，则m＝(　　)

A.－8　       B.－5         C.5          D.8

【答案解析】答案为：B

解析：由(a－b)⊥b知：(a－b)·b＝0，所以a·b－b2＝0，即3－2m－13＝0，

所以m＝－5.

6.已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|=2且a⊥(a－2b)，则|b|=(　　)

A.          B.2        C.2          D.4

【答案解析】答案为：B.

解析：由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)=|a|2－2a·b=0.又∵|a－b|=2，

∴|a－b|2=|a|2－2a·b＋|b|2=4，则|b|2=4，|b|=2，故选B.]

7.在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，点D为BC边上一点，且D为BC边上靠近C的三等分点，则·=(　　)

A.8      B.6          C.4      D.2

【答案解析】答案为：A；

解析：因为=＋=＋=－＋=＋，

所以·=2＋·=＋=8.

8.在△ABC中，已知·=，||=3，||=3，M，N分别是BC边上的三等分点，

则·的值是(　  　)

A.         B.         C.6         D.7

【答案解析】答案为：B.

解析：不妨设=＋，=＋，

所以·=(＋)·(＋)=2＋·＋2

=(2＋2)＋·=×(32＋32)＋×=，故选B.

9.已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋=2，AB=1，则·=(　　)

A.　        B.3        C.        D.2

【答案解析】答案为：B；

解析：因为＋=2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，

又AB=1，圆的半径为1，所以∠ACB=30°，且AC=，

则·=||·||cos ∠ACB=3.故选B.

10.已知直线y=x＋m和圆x2＋y2=1交于A，B两点，O为坐标原点，若·=，则实数m=(　　)

A.±1         B.±          C.±           D.±

【答案解析】答案为：C

解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去y得2x2＋2mx＋m2－1=0，

由Δ=4m2－8(m2－1)>0，得－<m<，又xAxB=，xA＋xB=－m，

所以yAyB=(xA＋m)(xB＋m)=，由·=·(－)=－·＋2

=－xAxB－yAyB＋1=－m2＋2=，解得m=±.故选C.

11.已知A，B，C三点不共线，且=－＋2，则=(　　)

A.           B.             C.6             D.

【答案解析】答案为：C

解析：如图，取=－，=2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，

此时=－＋2.由图可知S△ABD=3S△AMD，S△ACD=S△AND，

而S△AMD=S△AND，∴=6.故选C.

12.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　 　)

A.        B.         C.        D.3

【答案解析】答案为：A.

解析：解法1：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，

建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(,)，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，

∴·＝(－1，t)·(－,t－)＝t2－t＋，∵t∈[0，]，

∴当t＝－＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝.故选A.

解法2：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，

∵＝＋λ，∴＝＋＝＋＋λ，

∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋||2＋λ·＋λ2||2

＝3λ2－λ＋.当λ＝－＝时，·取得最小值.故选A.

二 、填空题

13.如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于__________.

【答案解析】答案为：1

解析：因为＝＋＝＋，＝＋，

所以·＝(＋)·(＋)＝||2＋||2＋·

＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1.

14.已知锐角三角形ABC中，||=4，||=1，△ABC的面积为，则·=________.

【答案解析】答案为：2.

解析：[由S△ABC=||||sin A=得sin A=，又A∈(0,)，则A=，

故·=||||cos A=4×1×=2.]

15.已知点O为△ABC的外心，且||=4，||=2，则·=________.

【答案解析】答案为：6.

解析：[因为点O为△ABC的外心，且||=4，||=2，

所以·=·(－)=·－·

=||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉=||||×－||||×=6.]

16.已知平面向量a，b满足|a|＝1，a与b－a的夹角为60°，记m＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|m|的取值范围为            .

【答案解析】答案为：[，+∞).

解析：如图所示，设＝a，＝b，＝m，

则||＝1，∠OAB＝120°.∵m＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，∴A，B，C三点共线，

∵点O到直线AB的距离为||·sin60°＝，

∴||≥，∴|m|的取值范围为[，+∞).