2023年高考数学(理数)一轮复习课时33《基本不等式》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时33

《基本不等式》达标练习

一 、选择题

1.已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)

A.          B.        C.1          D.2

2.若a＞0，b＞0，且a＋b=4，则下列不等式恒成立的是(　 　)

A.≤      B.＋≤1      C.≥2       D.a2＋b2≥8

3.已知a＞0，b＞0，a＋b=2，则y=＋的最小值是(　　)

A.　     　B.4　　  　C.　　　D.5

4.已知f(x)=，则f(x)在[,3]上的最小值为(　 　)

A.        B.       C.－1        D.0

5.若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A.1＋          B.1＋       C.3          D.4

6.已知a＞0，b＞0，a＋b=＋，则＋的最小值为(　　)

A.4        B.2            C.8        D.16

7.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)    B.[－2，＋∞)    C.[－2,2]      D.[0，＋∞)

8.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x).若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为(　　)

A.＋2          B.－2        C.2＋2          D.2－2

9.设a＞0，b＞1，若a＋b=2，则＋的最小值为(　　)

A.3＋2       B.6          C.4        D.2

10.不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)

A.(－2,0)　

B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C.(－4,2)　

D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)

11.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)

A.a≥          B.a＞        C.a＜          D.a≤

12.若正数a，b满足a＋b=2，则＋的最小值是(　　)

A.1　       B.           C.9        D.16

二 、填空题

13.已知a>0，b>0，a＋b=2，则y=＋的最小值是________.

14.若正数x，y满足x＋3y=5xy，则3x＋4y的最小值为　 　.

15.设函数f(x)=－sin2x最小值为m，且与m对应的x最小正值为n，则m＋n=　　.

16.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017=4 034，则＋的最小值为　 　.

0.答案解析

1.答案为：C

解析：由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，

当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，

当且仅当x＝－时取等号.所以解得a＝1.故选C.

2.答案为：D；

解析：4=a＋b≥2(当且仅当a=b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋==≥1，选项B不成立；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=16－2ab≥8，选项D成立.

3.答案为：C.

解析：由a＞0，b＞0，a＋b=2知＋=(＋)=(5++)≥，

当且仅当=，即b=2a=时等号成立，故选C.]

4.答案为：D.

解析：f(x)==x＋－2≥2－2=0，当且仅当x=，即x=1时取等号.

又1∈[,3]，所以f(x)在[,3]上的最小值是0.

5.答案为：C

解析：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，

当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.故选C.

6.答案为：B；

解析：由a＞0，b＞0，a＋b=＋=，得ab=1，则＋≥2 =2.

当且仅当=，即a=，b=时等号成立，故选B.

7.答案为：B

解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，

则有a≥＝－(|x|＋)，设f(x)＝－(|x|＋)，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.

8.答案为：B

解析：由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立得

ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，

可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，

且4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.

当t＞0时，≤＝≤

＝－2，当t＝0时，＝0，

故的最大值为－2.故选B.

9.答案为：A

解析：∵a＋b=2，∴a＋b－1=1，∴＋=(a＋b－1)

=2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当=，

即a=2－，b=时取等号.

10.答案为：C

解析：不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，

等价于x2＋2x＜min，由于＋≥2=8

(当且仅当a=4b时等号成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故选C.

11.答案为：A

解析：因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，

a≥()max，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，

当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥.故选A.

12.答案为：B

解析：＋=·=

≥(5＋2)=，当且仅当=，即a=，b=时取等号.故选B.

二 、填空题

13.答案为：.

解析：依题意，得＋=·(a＋b)=≥=，

当且仅当即a=，b=时取等号，即＋的最小值是.

14.答案为：5；

解析：法一　由x＋3y=5xy可得＋=1，

∴3x＋4y=(3x＋4y)=＋＋＋≥＋=5

(当且仅当=，即x=1，y=时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.

法二　由x＋3y=5xy，得x=，

∵x＞0，y＞0，∴y＞，∴3x＋4y=＋4y=＋4y

=＋·＋4≥＋2=5，当且仅当y=时等号成立，

∴(3x＋4y)min=5.

15.答案为：；

解析：f(x)=＋=＋－，

因为cos2x＋2＞0，所以f(x)≥2×－=0，当且仅当=，

即cos2x=－时等号成立，所以x的最小正值为n=，所以m＋n=.

16.答案为：4；

解析：由等差数列的前n项和公式，

得S2 017==4 034，则a1＋a2 017=4.

由等差数列的性质得a9＋a2 009=4，

所以＋==

=≥=4，

当且仅当a2 009=3a9时等号成立，故所求最小值为4.