2023年高考数学(理数)一轮复习课时46《双曲线》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时46

《双曲线》达标练习

一 、选择题

1.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为(　 　)

A.－=1       B.－=1    C.－=1         D.－=1

2.已知F为双曲线C：x2－my2=3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线距离为(　 　)

A.         B.3      C.m          D.3m

3.已知F是双曲线C：x2－=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)

A.　　　B.       C.　　　D.

4.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)

A.－＝1       B.－＝1     C.－＝1          D.－＝1

5.已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A.(1，)         B.(1，]    C.(，＋∞)         D.[，＋∞)

6.若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=－2x，则该双曲线的离心率是(　　)

A.         B.       C.        D.2

7.已知P是双曲线－y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则·的值是(　　)

A.－        B.       C.－        D.不能确定

8.已知A是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若存在实数λ使得=λ，则双曲线的离心率为(　　)

A.3           B.2            C.4           D.与λ的取值有关

9.已知O为坐标原点，双曲线－=1(a＞0，b＞0)上有A，B两点满足OA⊥OB，且点O到直线AB的距离为c，则双曲线的离心率为(　　)

A.        B.       C.        D.

10.已知抛物线C1：y2=8ax(a＞0)，直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：－=1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是(　　)

A.2          B.         C.          D.1

11.已知A，B，P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB=3，则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3

12.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.

若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为(　　)

A.x2－=1         B.－=1    C.－=1         D.－=1

二 、填空题

13.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2=的切线，

若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________.

14.双曲线T：－=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则T的实轴长等于__________.

15.已知P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.

16.已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：－=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=π，则双曲线C的离心率为       .

0.答案解析

1.答案为：C.

解析：由题意，设双曲线C的方程为－x2=λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，

则－22=λ，解得λ=－3，所以双曲线C的方程为－x2=－3，即－=1.

2.答案为：A；

解析：由题意知，双曲线的标准方程为－=1，其中a2=3m，b2=3，

故c==，

不妨取F(，0)，一条渐近线为y= x，化成一般式即为x－y=0，

由点到直线的距离公式可得d==，故选A.

3.答案为：D.

解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，

得4－=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，

又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.]

4.答案为：B

解析：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝　①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9　②，根据①②可知a2＝4， b2＝5，所以选B.

5.答案为：C

解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，∴e＝>＝.

6.答案为：C；

解析：由双曲线－=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±x，且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x，得=2，则b=2a，则双曲线的离心率e=====.故选C.

7.答案为：A

解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是－y=0，＋y=0，

所以可取|PA|=，|PB|=.

又cos∠APB=－cos∠AOB=－cos 2∠AOx=－cos=－，

所以·=||·||·cos∠APB=·=×=－.故选A.

8.答案为：A.

解析：由题意，可知|PG|=2|GO|，GA∥PF1，∴2|OA|=|AF1|，∴2a=c－a，∴c=3a，∴e=3.]

9.答案为：A.

解析：显然直线OA，OB的斜率均存在，且不为0，过点O向AB作垂线，垂足为H.

设直线OA的方程为y=kx(k≠0)，则直线OB的方程为y=－x，

与双曲线方程联立，得得y2=，则x2=，因而|OA|2=，

同理|OB|2==，由|OA|×|OB|=|AB|×|OH|及|OA|2＋|OB|2=|AB|2可得，

|OH|=，即=＋，

因而=＋，即=－，又c2=a2＋b2，

从而得=，所以e==，故选A.

10.答案为：D；

解析：抛物线C1的焦点为(2a，0)，由弦长计算公式有=16a=16，a=1，

所以抛物线C1的标准方程为y2=8x，准线方程为x=－2，故双曲线C2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c=2，所以b===，渐近线方程为y=±x，直线l的方程为y=x－2，所以点P(0，－2)，点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为=1，选D.

11.答案为：C.

解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，

P(x2，y2)，则－=1，－=1，又kPA=，kPB=，所以kPA·kPB===3，

所以离心率e==2，故选C.]

12.答案为：C；

解析：由题意可知e==，可得=，取一条渐近线为y=x，

可得F到渐近线y=x的距离d==b，

在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|===a，

由题意可得ab=，联立解得

所以双曲线的方程为－=1.故选C.

二 、填空题

13.答案为：2.

解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=x，由题意可知该切线方程为y=－(x－c)，

即ax＋by－ac=0.又圆(x－a)2＋y2=的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d===，又e=，则e2－4e＋4=0，解得e=2.

14.答案为：8.

解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=x，即ax－by=0的距离为==b=3，

所以a=4,2a=8.

15.答案为：a.

解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，

所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，

所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.因为M的横坐标和A的横坐标相同，

所以M的横坐标为a.

16.答案为：.

解析：如图，设|PF1|=x，则|PF2|=x－2a，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1.

因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S在双曲线上，

所以四边形PSRQ是平行四边形，根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|=|QF1|=x，

则∠F1PS=，根据双曲线的定义，有|F1S|=x＋2a，所以在△PF1S中，

由余弦定理得(x＋2a)2=x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·（- ），解得x=a，

所以|PF2|=a，所以在△PF1F2中，

由余弦定理得4c2=（a）2＋（a）2－2×（- ）×a×a，整理可得e==.