2023年高考数学(理数)一轮复习课时64《不等式选讲》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时64

《不等式选讲》达标练习

1.设函数f(x)=|2x＋3|＋|x－1|.

(1)解不等式f(x)＞4；

(2)若∀x∈(-∞,－ )，不等式a＋1＜f(x)恒成立，求实数a的取值范围.

【答案解析】解：(1)∵f(x)=|2x＋3|＋|x－1|，

∴f(x)=

f(x)＞4⇔或或

⇔x＜－2或0＜x≤1或x＞1.

∴不等式f(x)＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).

(2)由(1)知，当x＜－时，f(x)=－3x－2，

∵当x＜－ 时，f(x)=－3x－2＞，

∴a＋1≤，即a≤.

∴实数a的取值范围为(-∞,].

2.选修4­5：不等式选讲

设函数f(x)=|x－a|，a∈R.

(1)若a=1，解不等式f(x)≥(x＋1)；

(2)记函数g(x)=f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1，3]，求a的取值范围.

【答案解析】解：(1)由于a=1，故f(x)=

当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤；

当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.

综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为(-∞,]∪[3，＋∞).

(2)当a<2时，

g(x)=g(x)的值域A=[a－2，2－a]，

由A⊆[－1，3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；

当a≥2时，g(x)=2<x<a，

g(x)的值域A=[2－a，a－2]，

由A⊆[－1，3]，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.

综上，a的取值范围为[1，3].

3.已知函数f(x)=|2x－a|＋|2x＋1|.

(1)当a=1时，求f(x)≤2的解集；

(2)若g(x)=4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.

【答案解析】解：

(1)当a=1时，f(x)=.

当x<－时，f(x)≤2无解；

当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}；

当x>时，f(x)≤2无解.

综上所述，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}.

(2)当x∈时，f(x)=(a－2x)＋(2x＋1)=a＋1，

所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x).

又g(x)=4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，

则，即，即－≤a≤2.

又a>－1，所以－1<a≤2，所以a的取值范围为(－1,2].

4.已知函数f(x)=|x－1|＋|x＋a|.

(1)当a=3时，解关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|＞6；

(2)若函数g(x)=f(x)－|3＋a|存在零点，求实数a的取值范围.

【答案解析】解：(1)当a=3时，不等式为|x－1|＋|x＋3|＞6，

即或

或解得x＜－4或x＞2，

所以所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞).

(2)函数g(x)=f(x)－|3＋a|存在零点等价于关于x的方程|x－1|＋|x＋a|=|3＋a|有解.

因为|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|=|a＋1|，

所以|3＋a|≥|a＋1|，即|3＋a|2≥|a＋1|2，解得a≥－2，

所以实数a的取值范围是[－2，＋∞).

5. [选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)=|2x－1|.

(1)求不等式f(x)＋|x＋1|＜2的解集；

(2)若函数g(x)=f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n=a(m＞0，n＞0)，求＋的最小值．

【答案解析】解：(1)f(x)＋|x＋1|=|2x－1|＋|x＋1|

=

当x≤－1时，－3x＜2，得x＞－，无解；

当－1＜x＜时，－x＋2＜2，得x＞0，即0＜x＜；

当x≥时，3x＜2，得x＜，即≤x＜.

综上，不等式的解集为.

(2)由条件得g(x)=|2x－1|＋|2x－3|≥|(2x－1)－(2x－3)|=2，

当且仅当x∈时，其最小值a=2，即m＋n=2.

又＋=(m＋n)=≥=，

所以＋的最小值为，当且仅当m=，n=时等号成立．

6.【选修4-5：不等式选讲】

已知函数f(x)=|x-2a|-|x+1|．

（1）当a=1时，求不等式f(x)≥1的解集；

（2）若f(x)-a-2≤0恒成立，求实数a的取值范围．

【答案解析】解：（1）当a=1时，

，

∵，∴或，

∴或，∴，

∴不等式的解集为．

（2）∵，

∴，

∵恒成立等价于，

∴，

所以，∴，

∴a的取值范围为[-1,1]．

7.已知函数f(x)=|x－2m|－|x＋m|(m>0).

(1)当m=2时，求不等式f(x)≥1的解集；

(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.

【答案解析】解：(1)f(x)=|x－2m|－|x＋m|

=

当m=2时，由－2x＋2≥1得－2<x≤，

又当x≤－2时，f(x)≥1恒成立，

所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤}.

(2)不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)≤(|t＋3|＋|t－2|)min恒成立，

即f(x)max≤(|t＋3|＋|t－2|)min，

∵f(x)=|x－2m|－|x＋m|≤|(x＋m)－(x－2m)|=3m，

|t＋3|＋|t－2|≥|(t＋3)－(t－2)|=5，

∴3m≤5，

又m>0，

∴0<m≤.

8.设函数f（x）=|x﹣a|．

（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；

（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．

【答案解析】【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，

则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，

当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；

当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，

当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，

综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．

（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，

即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．

当且仅当+，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．