专题13平面解析几何选择填空题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

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真题汇总命题趋势
1．【2022年全国甲卷文科11】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=−1，则C的方程为（ ）
A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=1
【答案】B
【解析】
解：因为离心率e=ca=1−b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，
A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(−a,0),A2(a,0)，
B为上顶点，所以B(0,b).
所以BA1=(−a,−b),BA2=(a,−b)，因为BA1⋅BA2=−1
所以−a2+b2=−1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，
故椭圆的方程为x29+y28=1.
故选：B.
2．【2022年全国乙卷文科06】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF=BF，则AB=（ ）
A．2B．22C．3D．32
【答案】B
【解析】
由题意得，F1,0，则AF=BF=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2，
所以AB=3−12+0−22=22.
故选：B
3．【2021年全国甲卷文科5】点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为（ ）
A．95B．85C．65D．45
【答案】A
由题意可知，双曲线的渐近线方程为：x216−y29=0，即3x±4y=0，
结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离：d=9+09+16=95.
故选：A.
4．【2021年全国乙卷文科11】设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A．52B．6C．5D．2
【答案】A
设点P(x0,y0)，因为B(0,1)，x025+y02=1，所以
|PB|2=x02+(y0−1)2=5(1−y02)+(y0−1)2=−4y02−2y0+6=−4(y0−12)2+254，
而−1≤y0≤1，所以当y0=12时，|PB|的最大值为52．
故选：A．
5．【2020年全国1卷文科06】已知圆x2+y2−6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】
圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，
设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为29−|CP|2=29−8=2.
故选：B.
6．【2020年全国1卷文科11】设F1,F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．72B．3C．52D．2
【答案】B
【解析】
由已知，不妨设F1(−2,0),F2(2,0)，
则a=1,c=2，因为|OP|=1=12|F1F2|，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2=16，又|PF1|−|PF2|=2a=2，
所以4=|PF1|−|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=16−2|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|=6，所以S△F1F2P=12|PF1||PF2|=3
故选：B
7．【2020年全国2卷文科08】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（ ）
A．55B．255C．355D．455
【答案】B
【解析】
由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为a,a，则圆的半径为a，
圆的标准方程为x−a2+y−a2=a2.
由题意可得2−a2+1−a2=a2，
可得a2−6a+5=0，解得a=1或a=5，
所以圆心的坐标为1,1或5,5，
圆心到直线2x−y−3=0的距离均为d=−25=255；
所以，圆心到直线2x−y−3=0的距离为255.
故选：B.
8．【2020年全国2卷文科09】设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】
∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
∴双曲线的渐近线方程是y=±bax
∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
联立x=ay=bax，解得x=ay=b
故D(a,b)
联立x=ay=−bax，解得x=ay=−b
故E(a,−b)
∴|ED|=2b，
∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8
∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8
当且仅当a=b=22取等号
∴C的焦距的最小值：8
故选：B.
9．【2020年全国3卷文科06】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若AC⋅BC=1，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【解析】
设AB=2aa>0，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：A−a,0,Ba,0，设Cx,y，可得：AC→=x+a,y,BC→=x−a,y，
从而：AC→⋅BC→=x+ax−a+y2，
结合题意可得：x+ax−a+y2=1，
整理可得：x2+y2=a2+1，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，a2+1为半径的圆.
故选：A.
10．【2020年全国3卷文科07】设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．14,0B．12,0C．(1,0)D．(2,0)
【答案】B
【解析】
因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于E,D两点，且OD⊥OE，
根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4，所以D2,2，
代入抛物线方程4=4p，求得p=1，所以其焦点坐标为(12,0)，
故选：B.
11．【2020年全国3卷文科08】点(0，﹣1)到直线y=kx+1距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】B
【解析】
由y=k(x+1)可知直线过定点P(−1,0)，设A(0,−1)，
当直线y=k(x+1)与AP垂直时，点A到直线y=k(x+1)距离最大，
即为|AP|=2.
故选：B.
12．【2019年新课标3文科10】已知F是双曲线C：x24−y25=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（ ）
A．32B．52C．72D．92
【答案】解：如图，不妨设F为双曲线C：x24−y25=1的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则c=a2+b2=3，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．
联立x2+y2=9x24−y25=1，解得P（2143，53）．
∴sin∠POF=59．
则S△OPF=12×3×3×59=52．
故选：B．
13．【2019年新课标2文科09】若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p＝（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】解：由题意可得：3p﹣p＝（p2）2，解得p＝8．
故选：D．
14．【2019年新课标2文科12】设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【答案】解：如图，
由题意，把x=c2代入x2+y2＝a2，得PQ=2a2−c24，
再由|PQ|＝|OF|，得2a2−c24=c，即2a2＝c2，
∴c2a2=2，解得e=ca=2．
故选：A．
15．【2019年新课标1文科10】双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40°B．2cs40°C．1sin50°D．1cs50°
【答案】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±bax，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得−ba=tan130°=−tan50°，
则ba=tan50°=sin50°cs50°，
∴b2a2=c2−a2a2=c2a2−1=sin250°cs250°=1cs250°−1，
得e2=1cs250°，
∴e=1cs50°．
故选：D．
16．【2019年新课标1文科12】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．x22+y2＝1B．x23+y22=1
C．x24+y23=1D．x25+y24=1
【答案】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|=a2，
∴|AF2|＝a，|BF1|=32a，
在Rt△AF2O中，cs∠AF2O=1a，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2，
根据cs∠AF2O+cs∠BF2F1＝0，可得1a+4−2a22a=0，解得a2＝3，∴a=3．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为：x23+y22=1．
故选：B．
17．【2018年新课标1文科04】已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A．13B．12C．22D．223
【答案】解：椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为（2，0），
可得a2﹣4＝4，解得a＝22，
∵c＝2，
∴e=ca=222=22．
故选：C．
18．【2018年新课标2文科06】双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x
【答案】解：∵双曲线的离心率为e=ca=3，
则ba=b2a2=c2−a2a2=(ca)2−1=3−1=2，
即双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，
故选：A．
19．【2018年新课标2文科11】已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（ ）
A．1−32B．2−3C．3−12D．3−1
【答案】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），
所以P（12c，32c）．可得：c24a2+3c24b2=1，可得14e2+34(1e2−1)=1，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得e=3−1．
故选：D．
20．【2018年新课标3文科08】直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]
【答案】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=4+4=22，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+2csθ，2sinθ），
∴点P到直线x+y+2＝0的距离：
d=|2+2csθ+2sinθ+2|2=|2sin(θ+π4)+4|2，
∵sin（θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d=|2sin(θ+π4)+4|2∈[2，32]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[12×22×2，12×22×32]＝[2，6]．
故选：A．
21．【2018年新课标3文科10】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A．2B．2C．322D．22
【答案】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
可得ca=2，即：a2+b2a2=2，解得a＝b，
双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：|±4|2=22．
故选：D．
22．【2017年新课标1文科05】已知F是双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A．13B．12C．23D．32
【答案】解：由双曲线C：x2−y23=1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y＝3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨＝1，丨PF丨＝3，
∴△APF的面积S=12×丨AP丨×丨PF丨=32，
同理当y＜0时，则△APF的面积S=32，
故选：D．
23．【2017年新课标1文科12】设A，B是椭圆C：x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，3]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，3]∪[4，+∞）
【答案】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，
设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，
则a2﹣x2=a2y2b2，
∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα=yx+a，tanβ=ya−x，
则tanγ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−2aya2−x2−y2=−2aya2y2b2−y2=−2ab2y(a2−b2)=−2ab2c2y，
∴tanγ=−2ab2c2y，当y最大时，即y＝b时，∠AMB取最大值，
∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=3m≥tan60°=3，
解得：0＜m≤1；
当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，
当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=m3≥tan60°=3，解得：m≥9，
∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）
故选A．
故选：A．
24．【2017年新课标2文科05】若a＞1，则双曲线x2a2−y2＝1的离心率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（2，2）C．（1，2）D．（1，2）
【答案】解：a＞1，则双曲线x2a2−y2＝1的离心率为：ca=1+a2a=1+1a2∈（1，2）．
故选：C．
25．【2017年新课标2文科12】过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A．5B．22C．23D．33
【答案】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为3的直线：y=3（x﹣1），
过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l
可知：y2=4xy=3(x−1)，解得M（3，23）．
可得N（﹣1，23），NF的方程为：y=−3（x﹣1），即3x+y−3=0，
则M到直线NF的距离为：|33+23−3|3+1=23．
故选：C．
26．【2017年新课标3文科11】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（ ）
A．63B．33C．23D．13
【答案】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，
∴原点到直线的距离2aba2+b2=a，化为：a2＝3b2．
∴椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=63．
故选：A．
27．【2016年新课标1文科05】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）
A．13B．12C．23D．34
【答案】解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为：xc+yb=1，椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，
可得：11c2+1b2=b2，
4＝b2（1c2+1b2），
∴b2c2=3，
a2−c2c2=3，
∴e=ca=12．
故选：B．
28．【2016年新课标2文科05】设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y=kx（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝（ ）
A．12B．1C．32D．2
【答案】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F为（1，0），
曲线y=kx（k＞0）与C交于点P在第一象限，
由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，
代入C得：P点纵坐标为2，
故k＝2，
故选：D．
29．【2016年新课标2文科06】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（ ）
A．−43B．−34C．3D．2
【答案】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d=|a+4−1|a2+1=1，
解得：a=−43，
故选：A．
30．【2016年新课标3文科12】已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A．13B．12C．23D．34
【答案】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，ka2），
由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM，
即为ka2−a=k(a−c)−c−a，
化简可得a−ca+c=12，即为a＝3c，
可得e=ca=13．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得a−ca=MFOE，
由△BOH∽△BFM，
可得aa+c=OHFM=OE2FM，
即有2(a−c)a=a+ca即a＝3c，
可得e=ca=13．
故选：A．
31．【2015年新课标1文科05】已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x的焦点（2，0）重合，
可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：x216+y212=1，
抛物线的准线方程为：x＝﹣2，
由x=−2x216+y212=1，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．
|AB|＝6．
故选：B．
32．【2015年新课标2文科07】已知三点A（1，0），B（0，3），C（2，3）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A．53B．213C．253D．43
【答案】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，
可设圆心P（1，p），由PA＝PB得
|p|=1+(p−3)2，
得p=233
圆心坐标为P（1，233），
所以圆心到原点的距离|OP|=1+(233)2=1+129=213，
故选：B．
33．【2014年新课标1文科04】已知双曲线x2a2−y23=1（a＞0）的离心率为2，则实数a＝（ ）
A．2B．62C．52D．1
【答案】解：由题意，
e=ca=a2+3a=2，
解得，a＝1．
故选：D．
34．【2014年新课标1文科10】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝|54x0|，则x0＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】解：抛物线C：y2＝x的焦点为F(14，0)，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF＝|54x0|，x0＞0．
∴54x0=x0+14，
解得x0＝1．
故选：A．
35．【2014年新课标2文科10】设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．303B．6C．12D．73
【答案】解：由y2＝3x得其焦点F（34，0），准线方程为x=−34．
则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x−34）=33（x−34）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=16816=212，
所以|AB|＝x1+34+x2+34=34+34+212=12
故选：C．
36．【2014年新课标2文科12】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．[−12，12]C．[−2，2]D．[−22，22]
【答案】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN＝1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
故选：A．
37．【2013年新课标1文科04】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为52，则C的渐近线方程为（ ）
A．y=±14xB．y=±13xC．y＝±xD．y=±12x
【答案】解：由双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），
则离心率e=ca=a2+b2a=52，即4b2＝a2，
故渐近线方程为y＝±bax=±12x，
故选：D．
38．【2013年新课标1文科08】O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为（ ）
A．2B．22C．23D．4
【答案】解：∵抛物线C的方程为y2＝42x
∴2p＝42，可得p2=2，得焦点F（2，0）
设P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|＝m+p2=42，
即m+2=42，解得m＝32
∵点P在抛物线C上，得n2＝42×32=24
∴n=±24=±26
∵|OF|=2
∴△POF的面积为S=12|OF|×|n|=12×2×26=23
故选：C．
39．【2013年新课标2文科05】设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（ ）
A．66B．13C．12D．33
【答案】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2x，|F1F2|=3x，
又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∴2a＝3x，2c=3x，
∴C的离心率为：e=2c2a=33．
故选：D．
40．【2013年新课标2文科10】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（ ）
A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1
B．y=33（x﹣1）或 y=−33（x﹣1）
C．y=3（x﹣1）或 y=−3（x﹣1）
D．y=22（x﹣1）或 y=−22（x﹣1）
【答案】解：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y＝k（x﹣1）
由y=k(x−1)y2=4x消去x，得k4y2−y﹣k＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=4k，y1y2＝﹣4…（*）
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=4k且﹣3y22＝﹣4，
消去y2得k2＝3，解之得k=±3
∴直线l方程为y=3（x﹣1）或y=−3（x﹣1）
故选：C．
41．【2022年全国甲卷文科14】设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
【答案】(x−1)2+(y+1)2=5
【解析】
解：∵点M在直线2x+y−1=0上，
∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴(a−3)2+(1−2a)2=a2+(−2a)2=R，
a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,−1)，R=5，
⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x−1)2+(y+1)2=5
42．【2022年全国甲卷文科15】记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足10,b>0)，所以C的渐近线方程为y=±bax,
结合渐近线的特点，只需01，所以10)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．
【答案】3
【解析】
由双曲线方程x2a2−y2b2=1可得其焦点在x轴上，
因为其一条渐近线为y=2x，
所以ba=2，e=ca=1+b2a2=3.
故答案为：3
47．【2019年新课标3文科15】设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．
【答案】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：x236+y220=1的a＝6，b＝25，c＝4，
e=ca=23，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+23m＝8，即m＝3，n=15；
6−23m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，15）．
故答案为：（3，15）．
48．【2018年新课标1文科15】直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝ ．
【答案】解：圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为：|0+1+1|2=2，
所以|AB|＝222−(2)2=22．
故答案为：22．
49．【2017年新课标3文科14】双曲线x2a2−y29=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=35x，则a＝ ．
【答案】解：双曲线x2a2−y29=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=35x，
可得3a=35，解得a＝5．
故答案为：5．
50．【2016年新课标1文科15】设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为 ．
【答案】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为a2+2，
∵直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝23，
∴圆心（0，a）到直线y＝x+2a的距离d=|a|2，
即a22+3＝a2+2，
解得：a2＝2，
故圆的半径r＝2．
故圆的面积S＝4π，
故答案为：4π
51．【2016年新课标3文科15】已知直线l：x−3y+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝ ．
【答案】解：由题意，圆心到直线的距离d=61+3=3，
∴|AB|＝212−9=23，
∵直线l：x−3y+6＝0
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|=2332=4．
故答案为：4．
52．【2015年新课标1文科16】已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，66）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为x−3+y66=1与x2−y28=1联立可得y2+66y﹣96＝0，
∴P的纵坐标为26，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×66−12×6×26=126．
故答案为：126．
53．【2015年新课标2文科15】已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程是 ．
【答案】解：设双曲线方程为y2−14x2＝λ，
代入点(4，3)，可得3−14×16=λ，
∴λ＝﹣1，
∴双曲线的标准方程是14x2﹣y2＝1．
故答案为：14x2﹣y2＝1．
模拟好题
1．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作C的渐近线的垂线，垂足为点P，PF1=5a，则C的离心率为（ ）
A．5B．2C．3D．2
【答案】D
【解析】
由题意得F2(c,0)到一条渐近线bx−ay=0的距离为|PF2|=|bc|b2+a2=b，
则|OP|=a，cs∠PF2O=bc，在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2−2|PF2|⋅|F1F2|cs∠PF2O，
即5a2=b2+4c2−2b⋅2c⋅bc，得5a2=4c2−3(c2−a2)，
则离心率e=ca=2，
故选：D
2．已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点为F1，F2，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与E交于点P，若tan∠F1PF2=22，则E的离心率为（ ）
A．3B．2C．22D．3
【答案】D
【解析】
设F1F2=2c ，根据题意可得PF1=2c，tan∠F1PF2=22>0，∠F1PF2为锐角
则PF2=2c−2a，设线段PF2的中点为M，则PM=c−a．
在Rt△F1PM中，tan∠F1PM=22，
则F1M=22PM，所以PF1=F1M2+PM2=3PM,即2c=3c−a，
即2ca=3ca−1得E的离心率ca=3．
故选：D
3．已知抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E上，若∠PAF=30∘，则sin∠PFA=（ ）
A．12B．33C．34D．32
【答案】B
【解析】
过P作准线的垂线，垂足为Q，由∠PAF=30°，可得∠APQ=30°，由题意如图所示：
在Rt△AQP中，可cs∠APQ=|QP||PA|=32，
由抛物线的性质可得|PQ|=|PF|，所以|PF||PA|=32，
在△PAF中，由正弦定理可得：|PA|sin∠PFA=|PF|sin∠PAF，
所以sin∠PFA=|AP||PF|⋅sin∠PAF=23⋅12=33，
故选：B．
4．已知点P在抛物线C:y2=4x上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（ ）
A．4B．42C．5D．52
【答案】A
【解析】
设P(m,n)，设圆的半径为r，
因为点P在抛物线C:y2=4x上，所以n2=4m，
以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以m+1=r,
圆P与x轴相交的弦长为6，所以32+n2=r2，
所以m2−2m−8=0，又m≥0，
所以m=4，故n=±4，r=5,
所以点P到y轴的距离为4，
故选： A.
5．已知C为焦点在y轴上的双曲线，其离心率为52，P为C上一动点（除顶点），过点P的直线l1，l2分别经过双曲线的两个顶点，已知直线l1的斜率k1∈1,32，则直线l2的斜率k2的取值范围为（ ）
A．56,54B．815,45C．83,4D．16,14
【答案】C
【解析】
设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1a>0,b>0， Px0,y0为C上一动点，上顶点A0,a,下顶点B0,−a,离心率为52，即54=1+b2a2,可得14=b2a2,
直线l1为直线PA, 直线l2为直线PB,
则k1k2=y0−ax0⋅y0+ax0=y02−a2x02=a2+a2⋅x02b2−a2x02=a2b2=4，
k2=4k1，又k1∈1,32，1k1∈23,1，可得k2=4k1∈83,4，
故选：C
6．已知P3,4−22，过点P作圆C:x−a2+y−a−12=1（a为参数，且a∈R）的两条切线分别切圆C于点A、B，则sin∠APB的最大值为（ ）
A．1B．12C．32D．64
【答案】C
【解析】
圆心Ca,a+1，半径为1，圆心C在直线y=x+1上运动，
设∠APC=θ，则∠APB=2θ，由圆的几何性质可知tanθ=ACPA=1PA，
所以，sin∠APB=sin2θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2tanθ+1tanθ=21PA+PA，
当直线PC与直线y=x+1垂直时，PC取最小值，则PA=PC2−1取最小值，
且PCmin=3−4−22+12=2，则PAmin=22−1=3，则PA≥3，
由双勾函数的单调性可知，函数y=x+1x在3,+∞上为增函数，且y=x+1x>0，
故函数fx=2x+1x在3,+∞上为减函数，
故当PA=3时，sin∠APB取得最大值234=32.
故选：C.
7．椭圆x25+y2=1的左右焦点为F1,F2,Px0,y0x0>0,y0>0为椭圆上一点，直线PF1,PF2分别交椭圆于M，N两点，则当直线MN的斜率为−19时，x0y0=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
由已知得F1(−2,0),F2(2,0)，
所以直线PF1的方程为：y=k1(x+2)（其中k1=y0x0+2），
与椭圆方程联立得5k12+1x2+20k12x+20k12−5=0，
由韦达定理xM+x0=−20k125k12+1=−20y024x02+9，所以xM=−20y024x0+9−x0=−9x0+204x0+9，
故yM=y0x0+2xM+2=−y04x0+9；
类似得xN=9x0−204x0−9，yN=y04x0−9，
所以kMN=yM−yXxM−xM=x0y09x02−45=x0y095−5y02−45=−x045y0=−19⇒x0y0=5，
故选：D．
8．已知双曲线C:x2−3y2=1的左，右顶点分别为A、B，P是C在第一象限的图象上的点，记∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（ ）
A．tanα+tanβ+tanγ=0B．tanα+tanβ−tanγ=0
C．3tanα+3tanβ+4tanγ=0D．2tanα+2tanβ+3tanγ=0
【答案】C
【解析】
解：由双曲线C:x2−3y2=1，
得A−1,0,B1,0，设Px,y,x>0,y>0，
则kPA⋅kPB=yx+1⋅yx−1=y2x2−1，
又x2−3y2=1，
所以kPA⋅kPB=y23y2+1−1=13，则tanαtanβ=−13，
所以tanγ=−tan(α+β)=tanα+tanβtanαtanβ−1=−3(tanα+tanβ)4，
即3tanα+3tanβ+4tanγ=0.
故选：C.
9．已知斜率为12的直线l与椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段AB的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（ ）
A．12B．22C．32D．33
【答案】C
【解析】
如图，设Ax1,y1，Bx2,y2，∵C，D分别是线段AB的两个三等分点，∴C−x1,0，D0,y12，则B−2x1,−y12，
得x2=−2x1,y2=−y12, k=y1−y2x1−x2=3y123x1=12⋅y1x1，
利用点差法，由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0，
整理得到y12x12=4b2a2，即4b2a2=4k2⇒a2−c2a2=k2=14，所以e=32.
故选：C．
10．已知抛物线：x2=2pyp>0的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且OA⋅OB=−3，过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，PH⊥l．垂足为H．下列命题：
①抛物线的标准方程为x2=4y
②△OMN的面积为定值
③M为PN的中点
④四边形PFNH为菱形
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③④B．①④
C．①②③D．②③
【答案】A
【解析】
设Ax1,y1，Bx2,y2，可知F0,p2，直线AB的方程为y=kx+p2，
联立x2=2pyy=kx+p2，化为x2−2pkx−p2=0，
则x1+x2=2pk，x1x2=−p2，而y1y2=(x1x2)24p2=p24，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=−34p2=−3，
所以p=2，故抛物线方程为x2=4y，故①正确；
设Px0,y0，抛物线方程为y=x24，则y'=12x，
则在P点处取得的切线方程斜率为y'|x=x0=x02，
所以以P点为切点的切线方程为y=x02x−y0，切线与x轴､y轴分别交于点M､N，
所以M2y0x0,0，N0,−y0，
所以S△OMN=12OMON=12×2y0x0×−y0=x0242x0=x0316，故面积不为定值，故②错误；
因为M2y0x0,0、Px0,y0、N0,−y0，可知，2⋅2y0x0=x02x0=x0+02⋅0=y0+(−y0)，
所以M为PN的中点，故③正确；
因为PH⊥l，垂足为H ，所以Hx0,−1、N0,−y0、F0,1、Px0,y0，
因此FN=PH且FN//PH，所以四边形PFNH为平行四边形，
又根据抛物线定义PH=PF，故四边形PFNH为菱形，故④正确.
故正确结论编号为：①③④.
故选：A.
11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为x2+y2=4，y>0x24+y29=1，y≤0．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－5)、B(0，5)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为－19
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：x24+y29=1(−3≤y≤3)后，椭圆C'的蒙日圆方程为：x2+y2=13
【答案】BCD
【解析】
对于A：曲线x2+y2=4,y>0x24+y29=1,y≤0中，−2≤x≤2，当x∈Z时，
分5类讨论：x=−2,−1,0,1,2，分别代入曲线C方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有9个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当y>1时x2+y2=4，此时与原点距离为2，
当y≤0，时x24+y29=1，设半椭圆上动点P坐标为(2csθ，3sinθ)，θ∈π,2π
则OP2=2csθ2+3sinθ2=4cs2θ+9sin2θ=9−5cs2θ≤9⇒2≤OP≤3，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－5)、B(0，5)恰为椭圆x24+y29=1的两个焦点．
那么PA+PB=6，PA⋅PB≤PA+PB22=9
当且仅当PA=PB，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中，AB=25，由余弦定理知：
cs∠APB=PA|2+PB|2−|AB|22PA⋅PB=(PA+PB)2−AB2−2PA⋅PB2PA⋅PB
=62−20−2PA⋅PB2PA⋅PB=8PA⋅PB−1≥89−1=−19，选项C正确；
对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆C'：x24+y29=1(−3≤y≤3)中取两条切线：x=2和y=3，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为22+32=13
此时蒙日圆方程为：x2+y2=13，选项D正确．
故选：BCD．
12．已知直线l过抛物线C:x2=−4y的焦点F，且直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)．则下列选项正确的是（ ）
A．yA⋅yB=4B．以线段AB为直径的圆与直线y=32相离
C．当AF=2FB时，|AB|=5D．△GAB面积的取值范围为4,+∞
【答案】BD
【解析】
抛物线C:x2=−4y的焦点F(0,−1)，准线方程为y=1，
设直线l的方程为y=kx−1，与抛物线的方程联立，可得x2+4kx−4=0，
可得xAxB=−4，xA+xB=−4k，yAyB=(xAxB)216=1，故A错误；
由|AB|=2−yA−yB=2−k(xA+xB)+2=4+4k2，AB的中点到准线的距离为
d=1−yA+yB2=1−−4k2−22=2+2k2，
可得d=12|AB|，即有以AB为直径的圆与准线y=1相切，则它与直线y=32相离，故B正确；
由AF=2FB，可得0−xA=2(xB−0)，即xA=−2xB，又xAxB=−4，xA+xB=−4k，
解得xA=−22，yA=−2，xB=2，yB=−12，所以|AB|=2+2+12=92，故C错误；
由x2=−4y即y=−14x2的导数为y'=−12x，可得A处的切线的方程为y=−xA2x+xA24，
B处的切线的方程为y=−xB2x+xB24，
联立两条切线的方程，解得xG=12(xA+xB)=−2k，yG=−14(xA2+xAxB)+xA24=−14xAxB=−14×(−4)=1，
即G(−2k,1)，G到AB的距离为d=|2+2k2|1+k2，|AB|=1+k2⋅16k2+16，
则△GAB的面积为S=12d⋅|AB|=12⋅21+k2⋅4(1+k2)=4(1+k2)32⩾4，当k=0时，取得等号，
则△GAB面积的取值范围为[4，+∞)，故D正确．
故选：BD．
13．已知椭圆x29+y25=1的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px(p>0)与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A．p=4B．PF1+PF2=6
C．PF2=3D．△PF1F2的面积为25
【答案】ABC
【解析】
由椭圆方程可得c=9−5=2，所以p2=2，即p=4，故A正确；
由椭圆定义可得PF1+PF2=2a=6，故B正确；
联立方程x29+y25=1y2=8x，得x2+8x−9=0，
解得x=−9（舍去）或x=1，即点P的横坐标为xP=1，
由抛物线定义可得PF2=xP+p2=1+2=3，故C正确；
将xP=1代入抛物线可得yP=22，所以S△PF1F2=12×2c×yP=42，故D错误.
故选：ABC.
14．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为x=−2B．若|AF|=4，则|OA|=21
C．若|AF|⋅|BF|=4p2，则l的斜率为±33D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|=5
【答案】BC
【解析】
因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，所以p=2，
所以抛物线方程为y2=4x，则焦点F(1,0)，准线为x=−1，故A错误；
若|AF|=4，则xA=3，所以yA2=4xA=12，所以|OA|=xA2+yA2=21，故B正确；
可设Ax1,y1,Bx2,y2，
直线AB的方程为x=my+1，与抛物线y2=4x联立，
消去x，可得y2−4my−4=0，
可得y1+y2=4m,y1y2=−4，
由抛物线的定义可得|AF|⋅|BF|=x1+1x2+1=my1+2my2+2=16，
即m2y1y2+2my1+y2+4=16，即−4m2+8m2+4=16，
解得m=±3，则直线AB的斜率为±33，故C正确；
对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH=∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF=∠OFH=∠OFB=∠AFH，所以HF=AF=AH，
所以xA+xH2=xF，即xA=3，所以|AF|=xA+1=4，故D错误；
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.
15．已知圆O:x2+y2=49，直线l过点N(2,6)，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点M的轨迹是圆B．|PQ|的最小值为6
C．使|PQ|为整数的直线l共有9条D．使|PQ|为整数的直线l共有16条
【答案】ABD
【解析】
因为直线l恒过点N(2,6)，且点M为弦PQ的中点，所以OM⊥MN，则易得点M的轨迹是圆，故A对；
圆心O到直线l的距离为OM=ON2−MN2，故当MN=0时有最大值，即OMmax=ON=22+62=210，故|PQ|的最小值为2r2−OMmax2=249−40=6，故B对；
由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使|PQ|为整数的直线l有2+2×(14−6−1)=16（条），故C错，D对.
故选：ABD
16．如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O'，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e=__________．
【答案】35##0.6
【解析】
连接OO',
因为∠O'OE=θ,O'E=4,OE=3，
所以O'O=O'E2+OE2=42+32=5,
所以sinθ=O'EOO'=45,
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即b=4，
如图，椭圆的长轴长2a是AC，过点A向BC作垂线，垂足为B，
由题意得AB=2R=8,sin∠ACB=sinθ=45，
因为sinθ=ABAC=45，所以AC=10，
所以2a=10，得a=5，
所以椭圆的离心率为e=ca=a2−b2a=25−165=35，
故答案为：35
17．已知点F为抛物线y2=2pxp>0的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为22，则该抛物线的准线方程为_________________．
【答案】x=−1
【解析】
抛物线y2=2pxp>0的焦点F(p2,0)，
由y2=16p，可得y=±4p，不妨令P(8,4p)
则S△OFP=12×p2×4p=pp=22，解之得p=2
则抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=−1
故答案为：x=−1
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆C上一点，满足F1F2→⋅PF2→=0，△PF1F2的面积为32，直线PF1交椭圆C于另一点Q，且PF1→=73F1Q→，则椭圆C的标准方程为________．
【答案】x24+y23=1
【解析】
设椭圆半焦距为c，由已知可得PF2⊥F1F2,△PF1F2为直角三角形，易知|PF2|=b2a，
∴S△PF1F2=12×2c×b2a=32，整理得3a=2b2c①，
设点P在第一象限，则P(c,b2a)，而F1(−c,0)，
由PF1=73F1Q，可得Q(−13c7,−3b27a)在椭圆上，
代入椭圆C的方程得169c249a2+9b249a2=1②．又a2=b2+c2③，
由①②③可得a=2,b=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
故答案为：x24+y23=1.
19．已知F1，F2是双曲线y2−x24=1的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F2作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为N，则点N到坐标原点O的距离是__________．
【答案】1
【解析】
设点F2关于直线PN对称的点为F2'，则PF2'=PF2
由定义可知F1F2'=PF2'−PF1=PF2−PF1=2a=2
F1(0,5),F2(0,−5)，设N(x,y)，则F'2(2x,2y+5)
则(2x)2+(2y)2=2，即x2+y2=1,ON=x2+y2=1
故答案为：1
20．①已知点A3,0，直线l:x=433，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为32；
②已知圆C的方程为x2+y2=4，直线l为圆C的切线，记点A3,0，B−3,0到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足PA=d1，PB=d2；
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且ST=3，动点P满足OP=23OS+13OT；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
【答案】①②③
【解析】
对于①，
设P(x,y)，根据题意，(x−3)2+y2|x−433|=32，整理得x24+y2=1，
所以轨迹方程为x24+y2=1；
对于②，
设P(x,y)，直线l与圆相切于点H，则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>23=|AB|，
由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a=4,2c=|AB|=23，，
故a=2,c=3,b=1，所以轨迹方程为x24+y2=1；
对于③，
设P(x,y)，S(x',0)，T(0,y')，则(x')2+(y')2=3，
因为OP=23OS+13OT，所以x=23x'y=13y'，整理得x'=32xy'=3y，
代入(x')2+(y')2=3得x24+y2=1，
所以轨迹方程为x24+y2=1；
故答案为：①②③
21．已知抛物线C:y2=16x的焦点为F，点A−4,0，点P是抛物线C上的动点，则sin∠PAFsin∠AFP的最小值为___________．
【答案】22##122
【解析】
解：
如图，点A−4,0在抛物线C的准线x=−4上，
设点P在准线上的射影为Q，由正弦定理和抛物线的性质可知：
sin∠PAFsin∠AFP=PF2RAP2R=PFPA=PQPA=sin∠PAQ，
当直线AP与抛物线C相切时∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小．
设PA的方程为y=kx+4，与y2=16x联立得k2x2+8k2−16x+16k2=0，
由Δ=8k2−162−64k4=0，解得k=±1，
当k=±1时，sin∠PAQ=22．
故sin∠PAFsin∠AFP的最小值为22．
故答案为：22.
22．已知圆C:x2+y2−4x+3=0，定点F(2,0)，动点Q满足以FQ为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则|AN|+4|BM|的最小值为________．
【答案】23
【解析】
解：设Qx,y，则FQ的中点为12x+1,12y，所以12x−22+y2=12x+1，整理得y2=8x，
即动点Q的轨迹E为抛物线，焦点为F(2,0)，
由直线AB过抛物线的焦点，则1|AF|+1|BF|=2p=12，
其中1|AF|+1|BF|=2p的证明过程如下：
当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为y=k(x−p2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，显然k≠0．
由y=k(x−p2)y2=2px得:ky2−2py−kp2=0，∴y1y2=−p2，x1x2=y122p⋅y222p=p44p2=p24．
当AB⊥x轴时，直线AB方程为x=p2，则y1=p，y2=−p，∴y1y2=−p2，同上也有x1x2=p24．
由抛物线的定义知：AF=x1+p2，BF=x2+p2，又AF+BF=AB，所以x1+x2=AB−p，且x1x2=p24．
所以1AF+1BF=AF+BFAF⋅BF=AB(x1+p2)(x2+p2)=ABx1x2+p2(x1+x2)+p24
=ABp24+p2(AB−p)+p24=ABp2×AB=2p
圆C:(x−2)2+y2=1圆心为(2,0)，半径1，
|AN|+4|BM|=|AF|+1+4(|BF|+1)
=|AF|+4|BF|+5=2(|AF|+4|BF|)×(1|AF|+1|BF|)+5
=2(5+|AF||BF|+4|BF||AF|)+5⩾2(5+2|AF||BF|×4|BF||AF|)+5=23，
当且仅当|AF||BF|=4|BF||AF|，即|BF|=3，AF=6时取等号；
∴|AN|+4|BM|的最小值为23，
故答案为：23．
23．已知焦距为6的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，其中一条渐近线的斜率为22，过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设M为△F1AB的内切圆圆心，则S△F1ABS△MAB的最大值为___________.
【答案】6
【解析】
由题知ba=22，且2c＝6，根据a2+b2=c2，解得a2=6，b2=3，所以双曲线C的标准方程为x26−y23=1．
如图，设△F1AB的内切圆M与三角形三边的切点分别是D,E,N，由切线长性质，可得
AF1−BF1=AD−BE=AN−BN，
因为AF1−AF2=26=BF1−BF2，所以AF1−BF1=AF2−BF2，所以F2与N重合，因此F2是△F1AB的内切圆在AB边上的切点，所以MF2⊥AB．
因为S△F1ABS△MAB=12MF2⋅AF1+BF1+AB12MF2⋅AB=26+AF2+26+BF2+ABAB=46AB+2，
ABmin=2b2a=6,则AB≥6，
所以S△F1ABS△MAB的的最大值为: 6.
故答案为：6.
24．给定曲线族4sinθ−2csθ+6x2−8sinθ+csθ+1y=0，θ为参数，则这些曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值是_____
【答案】85
【解析】
联立方程4sinθ−2csθ+6x2−8sinθ+csθ+1y=0y=2x，
解得：x=0或x=8sinθ+csθ+12sinθ−csθ+3，
所以弦长d=1+k2x1−x2=5x，由x=8sinθ+csθ+12sinθ−csθ+3,得：(2x−8)sinθ−(x+1)csθ=1−3x，由辅助角公式(2x−8)2+(x+1)2sin(θ+φ)=1−3x,
∴1−3x≤(2x−8)2+(x+1)2，平方整理得，x2+6x−16≤0，
解得：−8≤x≤2，所以x≤8,d=5x≤85，
即弦长的最大值是85
故答案为：85
25．设双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为Fc,0，直线l：y=2x−c与双曲线C交于A，B两点.若AF=tFBt>0，则实数t的取值范围为___________.
【答案】0,2−3∪2+3,+∞
【解析】
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=2x−cx2a2−y2b2=1消去x整理得b2−2a2y2+22b2cy+2b4=0，
Δ>0，
所以y1+y2=−22b2cb2−2a2①，y1y2=2b4b2−2a2②.
因为AF=tFBt>0，所以−y1=ty2③，
将③代入①②两式整理得−t22b2cb2−2a21−t2=2b4b2−2a2，
则e2=31−t21+t2.又双曲线的离心率e∈1,+∞，
所以e2=31−t21+t2∈1,+∞，
解得t∈0,2−3∪2+3,+∞.
故答案为：0,2−3∪2+3,+∞