专题17不等式选讲-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

这是一份专题17不等式选讲-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科），文件包含专题17不等式选讲解析版docx、专题17不等式选讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1．【2022年全国甲卷文科23】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c=1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，
即00，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，
所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，
即abc12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．
(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，
所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc
ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc
当且仅当a=b=c时取等号．
3．【2021年全国甲卷文科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）a≥112
（1）可得f(x)=|x−2|={2−x,x−a，即|x−a|+|x+3|>−a恒成立，
|x−a|+|x+3|=|a−x|+|x+3|≥|a+3|，
当且仅当(a−x)(x+3)≥0时取等号，∴f(x)min=|a+3|,
故|a+3|>−a，
所以a+3>−a或a+3−32.
所以a的取值范围是(−32,+∞).
5．【2020年全国1卷文科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．
（1）画出y=f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）−∞,−76.
【解析】
（1）因为fx=x+3, x≥15x−1, −131，∴满足条件的α不存在
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2+3sinα(α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=φρ∈R.
(1)求C1的极坐标方程；
(2)设C1与C2交于M,N两点，若OM+ON=42，求C2的直角坐标方程.
【答案】(1)ρ2−4ρsinθ−5=0
(2)3x±y=0
【解析】
(1)因为C1的参数方程为x=3csαy=2+3sinα（α为参数），所以消去参数α可得C1的直角坐标方程为x2+(y−2)2=9，即x2+y2−4y−5=0，
又y=ρsinθx2+y2=ρ2，所以C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−5=0.
(2)由于C1与C2交于M,N两点，联立ρ2−4ρsinθ−5=0θ=φ得ρ2−4ρsinφ−5=0，
设M,N两点所对应的极径为ρM,ρN，则ρM+ρN=4sinφ,ρMρN=−5，
故OM+ON=ρM−ρN=ρM+ρN2−4ρMρN=16sin2φ−4×−5=42，
整理得sin2φ=34，则sinφ=±32，
所以C2的直角坐标方程为3x±y=0.
7．在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y−2m=0m∈R．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且AB=26，求m的值．
【答案】(1)mρcsθ+ρsinθ−2m=0，x=2+22csty=2+22sint；
(2)±1.
【解析】
(1)将x=ρcsθy=ρsinθ代入mx+y−2m=0m∈R
得：ρ(mcsθ+sinθ)=2m⇒mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
即直线l的极坐标方程为mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
由圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ可得：
ρ2=4ρ(csθ+sinθ)⇒x2+y2−4x−4y=0⇒(x−2)2+(y−2)2=8
故圆C的参数方程为x=2+22csty=2+22sint.
(2)点 C(2,2)到直线l：mx+y−2m=0m∈R的距离d=|2m+2−2m|m2+1=2m2+1，
则28−(2m2+1)2=|AB|=26⇒4m2+1=2⇒m=±1.
8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转2π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x=2+22ty=22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0.
(1)写出l的普通方程和曲线C的参数方程；
(2)点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标.
【答案】(1)x−y−2=0，x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）
(2)P1+2,−22
【解析】
(1)由x=2+22ty=22t可得x−y=2
所以l的普通方程为x−y−2=0，
由ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0可得x2+y2−2x+22y−1=0，
所以曲线C的直角坐标方程为x−12+y+22=4，参数方程为x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）.
(2)设点P1+2csφ,−2+2sinφ，则点P到l的距离d=1+2csφ+2−2sinφ−22=1−22sinφ−π42，
所以sinφ−π4=−1时，d最大，
此时φ=2kπ−π4k∈Z，csφ=22，sinφ=−22，
所以P1+2,−22.
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=tcsα,y=tsinα,其中t为参数，α∈[0,π)，曲线C2的参数方程为x=2+3csθ,y=3sinθ（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)若α=π4，曲线C1，C2交于M，N两点，求1OM+1ON的值．
【答案】(1)θ=α(ρ∈R)，ρ2−4ρcsθ+1=0
(2)22
【解析】
(1)依题意，曲线C1的普通方程为csα⋅y−sinα⋅x=0，
即曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．
曲线C2的普通方程为(x−2)2+y2=3，即x2+y2−4x+1=0，
故曲线C2的极坐标方程为ρ2−4ρcsθ+1=0．
(2)由α=π4，得θ=π4，
将θ=π4代入曲线C2的极坐标方程ρ2−4ρcsθ+1=0中，
可得ρ2−22ρ+1=0，
设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=1，ρ1+ρ2=22，
故1|OM|+1|ON|=|OM|+|ON||OM|⋅|ON|=ρ1+ρ2ρ1⋅ρ2=22．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=csα+sinαy=3csα−3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ+π4=−2．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P−1,1，直线l和曲线C相交于M、N两点，求1PM+1PN的值
【答案】(1)x22+y26=1，x−y+2=0；
(2)6
【解析】
(1)由x=csα+sinαy=3csα−3sinα得3x+y23=csα3x−y23=sinα
利用sin2α+cs2α=1，得x22+y26=1，即为C的普通方程，
由ρcsθ+π4=−2，得ρ(csθcsπ4−sinθsinπ4)=−2，
即ρcsθ−ρsinθ=−2，即x−y=−2，直线l的直角坐标方程为x−y+2=0；
(2)点P−1,1在直线l上，可得其参数方程为x=−1+22ty=1+22t（t为参数），
把x=−1+22ty=1+22t代入x22+y26=1得，t2−2t−1=0，
所以t1+t2=2，t1t2=−1，t1,t2不同号．
1PM+1PN=1t1+1t2=t1−t2t1t2=t1+t22−4t1t2t1t2=6．
12．已知中心在原点，焦点为F1 (−2,0)，F2 (2,0)的椭圆经过点(52,−32).
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，MF1交椭圆于点A，MF2交椭圆于点B，求|MF1||F1A|+|MF2||F2B|的值.
【答案】（1）x210+y26=1；（2）143.
【解析】
（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由椭圆定义知：2a=(52+2)2+(−32)2+(52−2)2+(−32)2=210，即a=10，又c=2，
∴b2=a2−c2=6，故椭圆方程为x210+y26=1.
（2）法一：以左焦点为极点，F1F2为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1−ecsθ(e为离心率且p=a2c−c).
设M(ρ1,θ)，A(ρ2,π+θ)，则|MF1|=ρ1=ep1−ecsθ，|F1A|=ep1+ecsθ.
∴|MF1||F1A|=1+ecsθ1−ecsθ=21−ecsθ−1，即|MF1||F1A|=2|MF1|ep−1.同理，有|MF2||F2B|=2|MF2|ep−1.
∴|MF1||F1A|+|MF2||F2B|=2|MF1|ep−1+2|MF2|ep−1=2(|MF1|+|MF2|)ep−2=4a2b2−2=4×106−2=143.
法二：设M，A， F1在左准线x=−a2c上的射影分别为M1，A1，Q，如下图，
∴|MM1|=|MF1|e，|F1Q|=a2c−c=b2c，|AA1|=|AF1|e，
由相似形及和分比定理得|AM||AF1|=|AF1|+|F1M||AF1| =|MF1|e−|AF1|eb2c−|AF1|e=|MF1|−|AF1|eb2c−|AF1|=2|MF1|eb2c，
∴|MF1||AF1|=2|MF1|eb2c−1，同理，得|MF2||BF2|=2|MF2|eb2c−1，
∴|MF1||AF1|+|MF2||BF2|=2eb2c(|MF1|+|MF2|)−2=4a2b2−2=406−2=143.
13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=tcsα,y=−2+tsinα（t∈R,t为参数α∈0,π2）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈π4,3π4．
（1）求半圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1+3，求α的值．
【答案】（1）C：x=csφ,y=1+sinφ（φ为参数，φ∈(0,π)），l：y=xtanα−2,α∈0,π2；（2）α=π3
【解析】
（1）半圆C的参数方程为x=csφ,y=1+sinφ（其中φ为参数，φ∈(0,π)），
直线l的直角坐标方程为y=xtanα−2,α∈0,π2.
（2）由题意可知，可设D(cs2α,1+sin2α)，其中α∈0,π2
所以点D到直线AB的距离为：d=tanα⋅cs2α−(1+sin2α)−21+tan2α
=sinαcs2α−csαsin2α−3csα=sinα+3csα,
又A2tanα,0, B(0,−2)，∴AB=(−2)2+2tanα2=2sinα.
∴三角形ABD的面积S=12⋅AB⋅d=12⋅2sinα⋅sinα+3csα=1+3tanα=1+3.
∴tanα=3，
又∵α∈0,π2，∴α=π3.
14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα, α为参数，曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°．
（1）过O作线段AB的垂线，垂足为H，求点H的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）求A,B两点间的距离的取值范围．
【答案】（1）x2+y2=3613；（2）121313,13
【解析】
（1）因为曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα,所以曲线C1的普通方程为x29+y24=1．
因为曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°，
所以点A,B的直角坐标分别为
Aρ1csθ1,ρ1sinθ1,Bρ2csθ1+90°,ρ2sinθ1+90°，
代入曲线C1的方程得ρ1csθ129+ρ1sinθ124=1,−ρ2sinθ129+ρ2csθ124=1，
所以csθ129+sinθ124=1ρ12,sinθ129+csθ124=1ρ22，
所以两个式子相加得1ρ12+1ρ22=19+14=1336．
由题意可知OH⋅AB=OA⋅OB，所以OH2=OA2⋅OB2OA2+OB2=ρ12⋅ρ22ρ12+ρ22=3613，
所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹C2的方程为x2+y2=3613．
（2）A,B两点间的距离为|AB|=ρ12+ρ22，设x=ρ12∈[4,9]，则ρ22=36x13x−36，
令函数f(x)=x+36x13x−36=13x213x−36，
所以f'(x)=1313x2−72x(13x−36)2，所以f(x)在区间4,7213上是减函数，
在区间7213,9上是增函数． 又f(4)=f(9)=13,f7213=14413，
所以函数f(x)的最大值为13，最小值为14413，
所以A,B两点间的距离|AB|的取值范围是121313,13．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数）．
（1）若直线l1平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线l1的方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点P，Q，求△PQO的面积．
【答案】（1）y=x+1；（2）22.
【解析】
（1）因为直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，
所以化为平面直角坐标系下的方程为x−y−1=0，
因为曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数），所以化为普通方程为y2=4x．
因为直线l1平行于直线l，所以可设直线l1的方程为y=x+m，
代入曲线C的方程，可得x2+2m−4x+m2=0，
因为直线l1与曲线C只有一个公共点，
所以Δ=2m−42−4m2=0，解得m=1，
所以直线l1的方程为y=x+1．
（2）由（1）知直线l的方程为x−y−1=0，曲线C的方程为y2=4x，
联立方程组x−y−1=0y2=4x，整理得x2−6x+1=0，所以x1+x2=6，x1x2=1，
所以弦长PQ=1+1x1−x2=2x1+x22−4x1x2=8，
点O到直线l的距离为d=−11+1=12，
所以△PQO的面积为S=12×8×12=22．
16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转4π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:x=csφy=−1+sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)写出曲线C1的极坐标方程，曲线C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为M(2,0)，射线θ=α−π4