2023年新高考数学一轮复习课时4.7《解三角形应用》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时4.7

《解三角形应用》达标练习

一 、选择题

1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　 　)

A.北偏东10°  B.北偏西10°    C.南偏东80°  D.南偏西80°

2.如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　 　)

A.30 m         B.60 m        C.30 m       D.40 m

3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　 　)

A.a km        B.a km       C.a km       D.2a km

4.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sin C的值为(　　)

A.        B.         C.        D.

5.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)

A.5 km          B.10 km       C.5 km          D.5 km

6.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为(　　)

A.0.5小时          B.1小时     C.1.5小时          D.2小时

7.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)

A.5(＋) km           B.5(－) km

C.10(－) km          D.10(＋) km

8.已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A=，sin B>sin C，a=3，S△ABC=2，则b的值为(　　)

A.2或3        B.2      C.3        D.6

9.某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑摩托车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8 km，则此人到达A城还需要(　　)

A.40 min       B.42 min        C.48 min         D.60 min

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a＋b，若△ABC的面积S=c，则ab的最小值为(　 　)

A.28       B.36        C.48        D.56

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B=2a＋b，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为(　　)

A.         B.        C.         D.3

12.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C－cos C=1－cos ，

若△ABC的面积S=(a＋b)sin C=，则△ABC的周长为(　　)

A.2＋5        B.＋5      C.2＋3        D.＋3

二 、填空题

13.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.

14.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长        .

15.在△ABC中，已知BC=2，·=2，则△ABC面积的最大值是      .

16.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°.若山高AD=100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为       m/s(精确到0.1).

0.答案解析

1.答案为：D.

解析：由条件及题图可知，∠A=∠B=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，

所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

2.答案为：B；

解析：在Rt△ABM中，AM====20(m).

过点A作AN⊥CD于点N，如图所示.易知∠MAN=∠AMB=15°，

所以∠MAC=30°＋15°=45°.

又∠AMC=180°－15°－60°=105°，所以∠ACM=30°.

在△AMC中，由正弦定理得=，解得MC=40(m).

在Rt△CMD中，CD=40×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高为60 m.

3.答案为：B；

解析：由题图可知，∠ACB=120°，由余弦定理，得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB

=a2＋a2－2·a·a·=3a2，解得AB=a(km).

4.答案为：A；

解析：设AB=AD=2a，则BD=a，则BC=4a，

所以cos∠ADB===，所以cos∠BDC==－，

整理得CD2＋3aCD－10a2=0，解得CD=2a或者CD=－5a(舍去).

故cos C===，而C∈，故sin C=.故选A.

5.答案为：C.

解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，

所以在△ABC中，有∠BAC=60°－30°=30°，B=120°，AC=15，

由正弦定理，得=，即BC=5，即这时船与灯塔的距离是5 km.

6.答案为：B.

解析：根据题意画出相应的图形，如图所示.BE=BF=30 km，

△ABD为等腰直角三角形且AB=40 km，由勾股定理得AD=BD=20 km，由BD⊥AD，

可得ED=DF，在Rt△BED中，由勾股定理得ED==10 km，

所以EF=2ED=20 km，因此B市处于危险区内的时间为20÷20=1(h).

7.答案为：C.

解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，

所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB，因为AB=40×=20，

所以AC=AB=20.

在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB

=400＋400－2×20×20cos 30°=400(2－)，

故BC===10(－).

8.答案为：C；

解析：因为△ABC为锐角三角形，所以cos A==，

由余弦定理得cos A===，①

因为S△ABC=bcsin A=bc×=2，所以bc=6，②

将②代入①得=，则b2＋c2=13，③

由sin B>sin C可得b>c，联立②③可得b=3，c=2.故选C.

9.答案为：C

解析：由题意可知，CD＝40×＝10，∠BAD＝45°，

cos∠BDC＝＝－，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝，

∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴＝，∴AD＝32，∴所需时间t＝＝0.8 h，

∴此人还需要0.8 h即48 min到达A城.故选C.

10.答案为：C.

解析：在△ABC中，2ccosB=2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB=2sinA＋sinB.

又A=π－(B＋C)，所以sinA=sin[π－(B＋C)]=sin(B＋C)，

所以2sinCcosB=2sin(B＋C)＋sinB=2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，

得2sinBcosC＋sinB=0，

因为sinB≠0，所以cosC=－，又0<C<π，所以C=.

由S=c=absinC=ab×，得c=.

由余弦定理得，c2=a2＋b2－2abcosC=a2＋b2＋ab≥2ab＋ab=3ab(当且仅当a=b时取等号)，

所以()2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.

11.答案为：B；

解析：由正弦定理及2ccos B=2a＋b，得2sin Ccos B=2sin A＋sin B.

因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)，则2sin C·cos B=2sin(B＋C)＋sin B，

即2sin B·cos C＋sin B=0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C=－.

因为0＜C＜π，所以C=，所以sin C=，则△ABC的面积为absin C=ab=c，

即c=3ab，结合c2=a2＋b2－2ab·cos C，可得a2＋b2＋ab=9a2b2.

∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，

故ab的最小值是，故选B.

12.答案为：D；

解析：由sin C－cos C=1－cos ⇒2sin cos －=1－cos

⇒cos 2cos －2sin －1=0，∵cos ≠0，∴sin －cos =－，

两边平方得sin C=，由sin －cos =－可得sin <cos ，

∴0<<，即0<C<，由sin C=得cos C=.又S=absin C=(a＋b)sin C=，

∴a＋b=ab=4，∴a=b=2，再根据余弦定理可得c2=a2＋b2－2abcos C=8－2，

解得c=－1，故△ABC的周长为＋3，故选D.

二 、填空题

13.答案为：32

解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB=v，BS=8 n mile，∠BSA=45°，

由正弦定理，得=，所以v=32.

14.答案为：100.

解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得=，解得x=100.

15.答案为：.

解析：由=－，得2=(－)2，设||=c，||=b，则b2＋c2=8，

又因为·=bc·cosA=2，所以cosA=，所以sin2A=1－，

设△ABC的面积为S，则S2=(bc)2sin2A=(b2c2－4)，

因为bc≤=4，所以S2≤3，所以S≤.所以△ABC面积的最大值是.

16.答案为：22.6；

解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，

所以∠BAD=60°，∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC=14v.

在Rt△ADB中，AB===200.

在Rt△ADC中，AC===100.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2=(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，

所以v=≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.