2023年新高考数学一轮复习课时5.3《平面向量的数量积》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时5.3

《平面向量的数量积》达标练习

一 、选择题

1.已知平面向量a，b的夹角为，且|a|=1，|b|=，则|a－2b|=(　　)

A.        B.1        C.2        D.

2.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=＋，且||=||，则向量在向量方向上的投影为(　　)

A.        B.－          C.－        D.

3.设向量a，b满足|a＋b|=4，a·b=1，则|a－b|=(　 　)

A.2        B.2            C.3        D.2

4.已知非零向量a，b满足a·b=0，|a|=3，且a与a＋b的夹角为，则|b|=(　　)

A.6        B.3         C.2        D.3

5.已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　 　)

A.圆        B.椭圆         C.双曲线        D.抛物线

6.过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，

则·的最小值为(　　)

A.        B.       C.        D.2－3

7.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　 　)

A.－        B.－        C.－        D.－

8.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)=0，

则|c|的最大值是(　　)

A.1        B.2        C.        D.

9.已知点O是锐角三角形ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，则(　　)

A.m＋n≤－2        B.－2≤m＋n<－1

C.m＋n<－1         D.－1<m＋n<0

10.设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)

A.1＋        B.1－     C.－1        D.1

11.已知O是△ABC内一点，＋＋=0，·=2且∠BAC=60°，则△OBC面积为(　　)

A.　　　　B.           C.　　　　D.

12.设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，=λ，

若·≥·，则实数λ的取值范围是(　 　)

A.≤λ≤1                B.1－≤λ≤1

C.≤λ≤1＋           D.1－≤λ≤1＋

二 、填空题

13.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，∠BAC=60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则·=        .

14.已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝       .

15.如图在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=λ，=μ，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ=1.若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值为________.

16.已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，

则t的值为        .

0.2023年新高考数学一轮复习课时5.3《平面向量的数量积》达标练习（含详解）答案解析

一 、选择题

1.答案为：B；

解析：∵|a－2b|2=|a|2＋4|b|2－4a·b=1＋1－1=1，∴|a－2b|=1.故选B.

2.答案为：D；

解析：依题意知，圆心O为BC的中点，即BC是△ABC的外接圆的直径，AC⊥AB.

又AO=OB=AB=1，因此∠ABC=60°，∠ACB=30°，||= ，

在方向上的投影为||cos 30°=×=，选D.

3.答案为：B；

解析：由|a＋b|=4，a·b=1，得a2＋b2=16－2=14，

∴|a－b|2=a2－2a·b＋b2=14－2×1=12，∴|a－b|=2.

4.答案为：D；

解析：因为a·(a＋b)=a2＋a·b=|a||a＋b|cos ，所以|a＋b|=3，

将|a＋b|=3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2=18，解得|b|=3，故选D.

5.答案为：D.

解析：∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，

∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线.

6.答案为：C；

解析：观察圆C的方程可知，圆心C在直线y=x－2上运动，

则|PC|≥=2.设∠CPA=θ，则·=||||cos 2θ

=||2(2cos2θ－1)=(||2－1)=(||2－1)·

=||2＋－3，令||2=x，设y=x＋－3，

则y=x＋－3在[8，＋∞)上为增函数，故·≥8＋－3=，故选C.

7.答案为：B.

解析：因为＝2，r＝1，所以||＝，·＝(＋)·(＋)

＝2＋·(＋)＋·＝（）2＋0－1＝－，故选B.

8.答案为：C；

解析：设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x，y)，则

(a－c)·(b－c)=0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)=0，

整理得(x－)2＋(y－)2=，这是一个圆心坐标为(,)，半径为的圆，

所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离.根据图形可知，

这个最大距离是，即所求的最大值为.

9.答案为：C.

解析：因为点O是锐角三角形ABC的外心，所以O在三角形内部，则m<0，n<0，

不妨设锐角三角形ABC的外接圆的半径为1，因为＝m＋n，

所以2＝m22＋n22＋2mn·，设向量，的夹角为θ，

则1＝m2＋n2＋2mncosθ<m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，所以m＋n<－1或m＋n>1(舍去)，

所以m＋n<－1，故选C.

10.答案为：A；

解析：如图，作出，使得＋=，

则(－)·(－)=2－·－·＋·

=1－(＋)·=1－·，

由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，

最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.

11.答案为：A.

解析：∵＋＋=0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC=S△ABC.

∵·=2，∴||·||·cos∠BAC=2，∵∠BAC=60°，∴||·||=4.

又S△ABC=||·||sin∠BAC=，∴△OBC的面积为，故选A.

12.答案为：B；

解析：因为=λ，=(1－λ，λ)，=λ=(－λ，λ)，·≥·，

所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，

所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，

因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，

即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.

二 、填空题

13.解析：依题意，F是△ABC的重心，=×(＋)=(＋)，

=(＋)==·=－.

故·=(＋)·=.

14.答案为：.

解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，解得2a·b＝1，

∴|a＋b|＝＝.

15.答案为：.

解析：连接AM，AN，由·=||||cos =－，=(＋)=(λ＋μ)，

=(＋)，=－=(1－λ)＋(1－μ)，

||2=[(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2]

=(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2，

由λ＋4μ=1⇒1－λ=4μ，可得||2=μ2－μ＋，

∵λ，μ∈(0,1)，∴当μ=时，||2取最小值，||的最小值为，

∴||的最小值为.

16.答案为：.

解析：因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，

所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为，

所以＝cos，

整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，

所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因为t>0，所以t＝.