2023年新高考数学一轮复习课时11.12《统计案例》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时11.12

《统计案例》达标练习

1.为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位：分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：

若把每天阅读时间在60分钟以上(含60分钟)的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.

(1)根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间(同一组数据用该区间的中点值作为代表)；

(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关？

附：参考公式：K2=，其中n=a＋b＋c＋d.

临界值表：

【答案解析】解：(1)该校学生的每天平均阅读时间为

10×＋30×＋50×＋70×＋90×＋110×

=1.6＋6＋12＋15.4＋12.6＋4.4

=52(分钟).

(2)由频数分布表得“阅读达人”的人数是11＋7＋2=20(人)，

根据等高条形图得2×2列联表如下：

K2==≈4.327，

由于4.327<6.635，故没有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关.

2.某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：

(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；

(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.

注：χ2=，n=a＋b＋c＋d.

【答案解析】解：(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为=.

所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×=2(人)，男用户30×=3(人).

抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s则从这5人中任选2人，

共有10种情况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.

其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar，as，br，bs，cr，cs.

故所求的概率为P==0.6.

(2)由题意，得

χ2==≈5.333＞5.024.

又P(χ2≥5.024)=0.025.

故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.

3.为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：

(1)求y关于x的线性回归方程=x＋；

(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？(保留两位小数)

参考公式：=.

【答案解析】解：(1) =3，=5，

解得=－1.23，=8.69，所以=8.69－1.23x.

(2)年利润z=x(8.69－1.23x)－2x=－1.23x2＋6.69x，

当x=≈2.72，z取得最大值，

所以当年产量为2.72吨时，年利润z最大.

4.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.

表1：无酒状态

表2：酒后状态

已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题.

(1)求m，n的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；

(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程y=bx＋a；

(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？

(附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y=bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b==，a=－b)

【答案解析】解：(1)依题意，得m=50－26，解得m=40，

又m＋n＋36=100，解得n=24.

故停车距离的平均数为15×＋25×＋35×＋45×＋55×=27.

(2)依题意，可知=50，=60，

xiyi=10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90=17 800，

x=102＋302＋502＋702＋902=16 500，

所以b==0.7，a=60－0.7×50=25，

所以回归直线方程为y=0.7x＋25.

(3)由(1)知当y>81时认定驾驶员是“醉驾”.令y>81，得0.7x＋25＞81，解得x>80，当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.

5.某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名.该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试.根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等(优秀)，在[60，80)的学生可取得B等(良好)，在[40，60)的学生可取得C等(合格)，不到40分的学生只能取得D等(不合格).为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数；

(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整.并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？

附：K2=，

【答案解析】解：(1)设抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，

根据题意得x=100×[1－10×(0.006＋0.012×2＋0.018＋0.024＋0.026)]=2.

据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数为

×1 600=32.

(2)根据已知条件得2×2列联表如下：

因为K2=≈0.407＜2.706，

所以没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”.

6.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时仍存在少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：

(1)在右面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y是正相关还是负相关；

(2)若用解析式=cx2＋d作为蔬菜上农药残留量与用水量x的回归方程，令w=x2，计算平均值与，完成以下表格，求出与x的回归方程(c，d保留两位有效数字)；

(3)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据：≈2.236)

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线=＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=－.

【答案解析】解:(1)

变量x与y是负相关.

(2)由题中表格易得=11，=38，

c==－≈－2.0，

d=－c=38－－×11≈60，∴=－2.0w＋60=－2.0x2＋60.

(3)当<20时，－2.0x2＋60<20，即x>2≈4.5，

∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.