2021-2022学年安徽省安庆市潜山县部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省安庆市潜山县部分学校八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列根式不是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式运算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列根式中，与是同类二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 五边形的内角和是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，则与的关系为

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，，则点到的距离是

A.  B.  C.  D.

7. 某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为

A.  B.
C.  D.

8. 欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是

A. 的长
B. 的长
C. 的长
D. 的长

9. 关于的方程有实数根，则满足

A.  B. 且 C. 且 D.

10. 如图所示，在四边形中，，，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点的位置有

1. 处
   B. 处
   C. 处
   D. 处

二．填空题（本题共5小题，共25分）

11. 化简：______．
12. 写一组勾股数：______．
13. 一元二次方程和的所有实数根的和等于______．
14. 如图，一块长为，宽为的长方形绿地，在绿地中开辟两条宽为的道路阴影部分后剩余绿地面积为，则的值为______．

15. 定义：如图，点，把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．若，，则的长为______．

三．解答题（本题共8小题，共85分）

16. 解方程：
    配方法；
    ．
17. 计算
    
    ．
18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．
    
    在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形；
    在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、；
    如图，、、是小正方形的顶点，求．
19. 已知：，．
    求值：；
    ；
20. 已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若该方程有一实数根大于，求的取值范围．
21. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为元件，原来售价为元件，每天可以出售件，经市场调查发现每降价元，一天可以多售出件．
    若想每天出售件，应降价多少元？
    如果每天的利润要比原来多元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？利润销售总价进货价总价
22. 如图，中，，，，若点从点出发以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
    若点在上，且满足时，求出此时的值；
    若点恰好在的角平分线上但不与点重合，求的值．

23. 如图，斜靠墙上的根竹竿长为，端点离墙角的水平距离长为．
    若端沿垂直于地面的方向下移，则端将沿方向移动多少米？
    若端下移的距离等于端沿方向移动的距离，求下移的距离．
    在竹竿滑动的过程中，面积有最______ 值填“大”或“小”为______ 两个空直接写出答案不需要解答过程．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项，是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
 

3.【答案】

【解析】解：与不是同类二次根式，A错误；
，与不是同类二次根式，B错误；
，与不是同类二次根式，C错误；
，与是同类二次根式，D正确；
故选：．
把各个二次根式进行化简，根据同类二次根式的概念进行判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
 

4.【答案】

【解析】解：五边形的内角和是：



故选：．
根据边形的内角和为：，且为整数，求出五边形的内角和是多少度即可．
此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确边形的内角和为：，且为整数．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
根据分母有理化，可得答案．
本题考查了分母有理化，把分母有理化，可得答案．
 

6.【答案】

【解析】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在中，，，
根据勾股定理得：，
过作，交于点，
又，
，
则点到的距离是．
故选：．
根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，然后过作垂直于，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边乘以斜边上的高除以来求，两者相等，将，及的长代入求出的长，即为到的距离．
此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选B．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
表示出 的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：欧几里得的 原本 记载，形如 的方程的图解法是：
画 ，使 ， ， ，再在斜边 上截取 ，
设 ，根据勾股定理得： ，
整理得： ，
则该方程的一个正根是 的长，
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】解：分类讨论：
当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；
当即时，
关于的方程有实数根
，
．
的取值范围为．
故选：．
由于的方程有实数根，那么分两种情况：当时，方程一定有实数根；当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：

则，，
，，
，
，
，
，
根据勾股定理，得，
点在点处时，点到的距离为，
，
，
是等腰直角三角形，

，
，
，
在边和边上各有一点，使得点到的距离为，
综上，满足条件的点有处，
故选：．
过点作于点，过点作于点，根据直角三角形的性质，求出的长，求出的长，即可进行判断．
本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

12.【答案】如：、、答案不唯一

【解析】解：写一组勾股数：如：、、答案不唯一．
故答案为：如：、、答案不唯一．
根据勾股数的定义即可求解．
本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
 

13.【答案】

【解析】解：在方程中，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
设一元二次方程的两个实数根分别为，，则．
在方程中，，，
，
方程没有实数根．
一元二次方程和的所有实数根的和等于．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式可得出方程有两个不相等的实数根、方程没有实数根，再利用根与系数的关系即可求出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据方程的系数结合根的判别式，找出两方程解的情况是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
，
，
，
，
，不合题意，舍去，
故答案为：．
根据剩余绿地面积长方形的面积两条路的面积两条路重合部分的面积列出方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据剩余绿地面积为列出方程是解题的关键．
 

15.【答案】或

【解析】解：分两种情况：
当为最大线段时，
点 、是线段的勾股分割点，
；
当为最大线段时，
点、是线段的勾股分割点，
．
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：当为最大线段时，由勾股定理求出；当为最大线段时，由勾股定理求出即可．
本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，．

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

17.【答案】解：

；



．

【解析】根据二次根式的加减法可以解答本题；
根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
 

18.【答案】解：如图所示：

连接，
由勾股定理得：，，
，
为等腰直角三角形
．

【解析】面积为的正方形的边长为，画出正方形即可；
以直角边为和构造斜边为，再以和为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为、、；
连接，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可得到的度数．
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，在格点三角形中利用勾股定理．
 

19.【答案】解：

．

，


．

【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】证明：

，
此方程总有两个实数根；
解：，
，
，，
方程有一实数根大于，
，
解得，
即的取值范围为．

【解析】先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
利用公式法解方程得到，，根据题意得，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】解：

元．
答：应降价元；
设每件应降价元，则根据题意可得：
，
解得：，，
使库存尽快地减少，
．
答：每件应降价元．

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等式两边的平衡条件，列出方程，解答即可．
降低元增加件，可知若想每天出售件，降低元，列出算式即可．
利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．
 

22.【答案】解：在中，，，，
则由勾股定理得到：
设存在点，使得，
此时，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，；

当点在的平分线上时，如图，过点作于点，
此时，，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，点与重合，不符合条件，
当时，在的角平分线上．

【解析】设存在点，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
当点在的平分线上时，如图，过点作于点，此时，，，根据勾股定理列方程即可得到结论．
考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

23.【答案】大 

【解析】解：由题意可知是直角三角形，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
答：端将沿方向移动米；
设，
则，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
答：下移的距离为米．
以为底，过作的垂线，为垂足，
在竹竿下滑过程中，当为的中线时，的面积最大，
最大值．
故答案为：大，．
中求出，在中求出，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离；
设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可；
 以为底，以到直线的距离为高，在竹竿下滑过程中，高为的中线时，的面积最大，由三角形的面积公式求出最大值．
本题考查了勾股定理的应用和转化思想，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．