2021-2022学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市福清市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列各图中，和构成对顶角的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列实数中，属于无理数的是

A.  B.  C.  D.

3. 关于，的二元一次方程组，用代入法消去后所得到的方程，正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，点在直线上，已知，，则等于

A.
B.
C.
D.

5. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 如图，下列判断中错误的是

A. 由得到
B. 由得到
C. 由得到
D. 由得到
 

7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中九章算术卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有头牛和只羊共值两金子，头牛和只羊共值两金子，那么每头牛，每只羊各值多少两金子？设头牛值两金子，只羊值两金子，那么，符合题意的方程组是

A.  B.
C.  D.

8. 有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出的值等于

A.  B.  C.  D.

9. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则等于

A.  B.  C.  D.

10. 关于，的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. ______．
12. 把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果那么”的形式是：______．
13. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值等于______．
14. 如图，若，，则的度数为______
    
    
     

15. 如表，每一行，，的值都满足方程如：当第二行中的，，分别对应方程中，，的值时，可得根据题意，的值等于______．

16. 如图，已知直线，被直线所截，，点是平面内一点点不在直线，，上，设，下列各式：，，，，的度数可能是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解方程组：
    ；
    ．
19. 如图，，求证：．
    证明：已知
    ______
    已知
    ______等量代换
    ______
    ______
     

20. 如图，在正方形网格中有一个三角形，其顶点都在网格的格点上．
    过点画出的垂线，垂足为点；
    比较 ______填“”或“”，判断依据是______；
    先将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位，得到三角形，请在下面的网格中画出得到的三角形．

21. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根．
22. 如图，已知直线，点在直线上，点在直线上，平分，．
    求证：；
    若比的倍少，求的度数．
23. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

问：每个“冰墩墩”和每个“雪容融”玩具的价格分别是多少？
某中学要在该冬奥官方特许商品零售店购买两种该批次的“冰墩墩”和“雪容融”玩具两种玩具都购买作为“北京冬奥会我参与”的征文比赛奖品，花费总额元整，请你帮该中学设计购买方案．

24. 先阅读下面材料，再解答问题：
    材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，．
    证明：，为有理数
    是有理数
    为有理数，是无理数
    
    
    
    若，其中、为有理数，请猜想______，______，并根据以上材料证明你的猜想；
    已知的整数部分为，小数部分为，且，为有理数，，，，满足，求，的值．
25. 如图，在四边形中，．
    如图，点在线段上，连接，若，且：：，求度数；
    如图，，，点，分别在线段，上，连接，，且满足，求的长；
    点，分别在线段，的延长线上，点在线段上，，，且，，请补全图形并求出的值．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：只有选项中，和构成对顶角，
其余个选项中，和不能构成对顶角，
故选：．
根据对顶角的概念判断即可．
本题考查的是对顶角的概念，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
 

2.【答案】

【解析】解：．是无理数，故本选项符合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的个数依次加，等有这样规律的数．
 

3.【答案】

【解析】解：，
把代入，得，
，
故选：．
把代入得出，再去括号即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，，
．
故选：．
利用互余的两角的关系计算即可．
本题考查的是余角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两个角．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、，
，不符合题意；
B、，
，不符合题意；
C、，
，不符合题意；
D、由无法得到，符合题意．
故选：．
根据平行线的判定和性质判断即可．
本题考查了平行线的判定和性质的应用，注意：平行线的判定有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
 

7.【答案】

【解析】解：设头牛值两金子，只羊值两金子，
由题意可得，，
故选：．
根据“头牛和只羊共值两金子，头牛和只羊共值两金子”，得到个等量关系，即可列出方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

8.【答案】

【解析】解：当时，
，
由于是有理数，所以继续取立方根，
此时是无理数，
输出，
故选：．
根据流程图以及立方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，

，
，
纸条的两边互相平行，
．
故选：．
先根据图形翻折变换的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
 

10.【答案】

【解析】解：，
得，，
解得，
把代入，
解得，
原方程组的解是，
方程组的解为整数，
，或．
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
满足这个条件的整数的个数有个：，，，．
故选：．
首先应用加减消元法，求出方程组的解是多少；然后根据方程组的解为整数，判断出满足这个条件的整数的个数有多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

11.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：
如果一个数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求解．
此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
 

12.【答案】如果两直线平行，那么同位角相等

【解析】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”，
写成“如果，那么”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”，
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等．
一个命题都能写成“如果那么”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
本题考查了一个命题写成“如果那么”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，难度较易．
 

13.【答案】

【解析】解：将代入方程，
得，
解得．
故答案为：．
将代入方程，即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，将这组解代入二元一次方程是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图所示：
，，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质求出的度数，再根据对顶角相等即可得出的度数．
此题考查平行线的性质、对顶角相等的性质；熟练掌握对顶角相等的性质，由平行线的性质求出是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：由题意得，，分别对应，，的值，
，
联立方程得：
，
，得．
故答案为：．
根据题意列二元一次方程组求解．
本题考查二元一次方程组的解，解题关键是利用整体思想求解．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，由，可得，
，
．

如图，过作平行线，则由，可得，，
．

如图，由，可得，
，
．

如图，由，可得，
．

当点是和的交点时，，；
当点在的下方时，同理可得，或．
综上所述，的度数可能为，，，，．
故答案为：．
根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
 

17.【答案】解：原式
；

，
则．

【解析】直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简，得出答案；
直接利用立方根的性质得出答案．
此题主要考查了立方根以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为；
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】两直线平行，内错角相等    同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等

【解析】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的性质得出，由等量代换得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
 

20.【答案】  垂线段最短

【解析】解：如图，直线即为所求；
，判断依据是垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短；
如图，三角形即为所求．

根据垂线的定义画出图形即可；
利用垂线段最短解决问题；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图平移变换，垂线段最短等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：由题意可得：
，
则，
故，
即，
故的平方根为：．

【解析】根据算术平方根以及立方根的定义得出等式，进而整体相减得出的值，再利用平方根的定义得出答案．
此题主要考查了算术平方根以及立方根的定义、平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
 

22.【答案】证明：，
，
平分，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】根据平行线的性质及角的平分线定义求解即可；
根据平行线的性质及垂直定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及角平分线定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每个“冰墩墩”玩具的价格是元，每个“雪容融”玩具的价格是元，
依题意得：，
解得：．
答：每个“冰墩墩”玩具的价格是元，每个“雪容融”玩具的价格是元．
设购买个“冰墩墩”玩具，个“雪容融”玩具，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或或，
该中学共有种购买方案，
方案：购买个“冰墩墩”玩具，个“雪容融”玩具；
方案：购买个“冰墩墩”玩具，个“雪容融”玩具；
方案：购买个“冰墩墩”玩具，个“雪容融”玩具；
方案：购买个“冰墩墩”玩具，个“雪容融”玩具．

【解析】设每个“冰墩墩”玩具的价格是元，每个“雪容融”玩具的价格是元，利用销售总额销售单价销售数量，结合连续两个月的销售数量及销售总额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个“冰墩墩”玩具，个“雪容融”玩具，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，
证明：，其中、为有理数，
，
，，
，，
故答案为：，；
，
，
，，
，，，满足，
，
，
，，
，．
猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若，其中，为有理数，是无理数，则，进行证明；
估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，实数的运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
，
，
：：，
，
；
设，则，，
，
，
解得，
；
如图中，设，，则，，

，
，
，
，
．

【解析】由平行线的性质可求，由三角形的内角和定理可求解；
由面积的和差关系可求解；
利用外角的性质可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行线的性质，三角形内角和定理，外角的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解题的关键．