河北省石家庄市第二中学2022届高三下学期5月模拟数学试题-6

这是一份河北省石家庄市第二中学2022届高三下学期5月模拟数学试题-6，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，函数的大致图象为等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前河北省石家庄市第二中学2022届高三下学期5月模拟数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四五总分得分      注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．已知集合，，则的真子集个数为（       ）A．个 B．个 C．个 D．个2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）A．3 B． C．6 D．4．函数的大致图象为（       ）A． B．C． D．5．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（       ）A． B．C． D．6．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．7．已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（       ）A．8 B． C． D．168．已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（       ）A． B． C． D．评卷人得分  二、多选题9．投掷一枚质地均匀的股子，事件“朝上一面点数为奇数”，事件“朝上一面点数不超过”，则下列叙述正确的是（       ）A．事件互斥 B．事件相互独立C． D．10．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（       ）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列11．已知，定义分别为，，则下列叙述正确的是（       ）A． B．C．是四个数中最小者 D．是四个数中最大者12．已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（       ）A．外接圆半径为 B．内切圆半径为C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．不等式的解集为___________.14．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为__________.15．某省示范性高中安排名教师去三所乡村中学支教，每所中学至少去人，因工作需要，其中的教师甲不能去中学，则分配方案的种数为__________.（用数字作答）评卷人得分  四、双空题16．如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，则三棱锥外接球的表面积为__________；当三棱锥体积最大时，__________.评卷人得分  五、解答题17．已知函数.(1)求函数在上的单调增区间；(2)若，求的值.18．某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20172018201920202021年份编号12345单价（元/公斤）1820232529 药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下： (1)若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2022年药材A的单价；(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2022年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.19．已知数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点.(1)若平面，求的值；(2)若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.21．已知椭圆的左右焦点分别为，点为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点.(1)求椭圆的方程；(2)若过点且倾斜角为钝角的直线与椭圆交于两点（其中点在轴下方），为的中点，为原点，求当最大时，的面积.22．已知函数，.(1)讨论函数极值点的个数；(2)设，若且对任意的恒成立，求的取值范围.
参考答案：1．C【解析】【分析】解方程组可求得，根据元素个数可求得真子集个数.【详解】由得：或，，即有个元素，的真子集个数为个.故选：C.2．D【解析】【分析】利用复数除法运算可求得，由其对应点的坐标可得结论.【详解】，对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．B【解析】【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由底面半径为r＝，侧面展开图为一个半圆，所以2πr＝πl，所以该圆锥的母线长为l＝2r＝2.故选：B.4．B【解析】【分析】由奇偶性可排除CD；由时，可排除A.【详解】由题意知：的定义域为，又，为定义域上的偶函数，则其图象关于轴对称，可排除CD；当时，，，可排除A.故选：B.5．D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.【详解】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.6．A【解析】【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.7．D【解析】【分析】先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数的方差，因为，利用方差的性质即可得到答案【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故： 又因为 根据方差的性质可得： 故选：D8．C【解析】【分析】设，知，利用圆的切线长的求解方法可表示出；利用点到直线距离公式可知，加和后，可将表示为关于的二次函数的形式，利用二次函数最小值的求法可求得结果.【详解】设，则，，，，则当时，，即的最小值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解题关键是能够结合圆的切线长的求解方法、点到直线距离公式，将所求距离表示为关于某一变量的函数的形式，从而利用函数最值的求法得到结果.9．BD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件定义可知AB正误；根据可知C错误；由条件概率的公式可求得D正确.【详解】对于A，若朝上一面的点数为，则事件同时发生，事件不互斥，A错误；对于B，事件不影响事件的发生，事件相互独立，B正确；对于C，，C错误；对于D，，，，D正确.故选：BD.10．ABC【解析】【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：ABC.11．AC【解析】【分析】利用不等式的基本性质，作差法和基本不等式判断.【详解】因为，所以，则 ，即，又，，，又，则；又，，即，       ，当时，，当时，，故选：AC12．BCD【解析】【分析】对A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；对B，利用三角形面积关系可求出；对C，由可求出；对D，由可求出.【详解】在中，，所以，设外接圆半径为，则，则，故A错误；设内切圆半径为，则，解得，故B正确；因为，，所以，故C正确；设内切圆与三角形分别切于，则设，，解得，所以，则，，所以，故D正确.故选：BCD.13．【解析】【分析】利用分式不等式的解法，即可求得不等式的解集.【详解】由不等式，可得，结合分式不等式的解法，可得，即不等式的解集为.故答案为：.14．【解析】【分析】分别假设双曲线焦点在轴和轴上时的双曲线方程，代入，结合渐近线斜率可构造方程组求得，由此可得，由得到结果.【详解】当双曲线焦点在轴上时，设，则，方程组无解；当双曲线焦点在轴上时，设，则，解得：，，离心率.故答案为：.15．【解析】【分析】利用部分平均分组的计算方法可求得三所学校分配人数分别为和时的安排方法数，在两种情况下分别求得甲去中学的安排方法数，利用间接法可求得结果.【详解】①若三所学校分配人数分别为时，共有种安排方法；其中甲去中学的安排方法有种；则此时分配方案的种数为种；②若三所学校分配人数分别为时，共有种安排方法；其中甲去中学的安排方法有种；则此时分配方案的种数为种；综上所述：满足题意的分配方案的种数为种.故答案为：.16．          【解析】【分析】由线面垂直的性质可确定为中点，利用线面垂直的判定可证得平面，从而得到，由此可得外接圆半径，则外接球半径，由球的表面积公式可求得三棱锥外接球的表面积；利用基本不等式可求得的最大值，并确定取等条件为，可知此时三棱锥体积最大；由可求得，勾股定理可得，由可得结果.【详解】平面，平面，，，；，为中点，，；为圆的直径，；平面，平面，；又，平面，平面，又平面，，又平面，，平面，又平面，，的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球表面积.，（当且仅当时取等号），，当时，面积取得最大值，又平面，，当时，三棱锥体积最大；，，，，，，，，，又，.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球表面积的求解、三棱锥体积最值的求解等知识；求解三棱锥外接球表面积的关键是能够利用线面垂直的性质确定三棱锥底面为直角三角形，且一条侧棱垂直于底面，可知三棱锥外接球半径，其中为底面直角三角形外接圆半径，为垂直于底面的侧棱的长.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式化简函数为，再利用正弦函数的性质求解；（2）根据，得到，进而得到，然后由求解.(1)解：，，，，令，解得，所以的单调增区间为.令得区间为，所以在上的单调增区间为；(2)因为，所以，又，且，所以，则所以.18．(1)，元/公斤(2)401公斤(3)药材A的每亩产值更高，应该种植药材A，理由见解析【解析】【分析】（1）首先求出，，即可求出、，从而求出回归方程，再令，即可得解；（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；（3）比较、两种药材的均值，即可判断；(1)解：，.，故回归直线方程为，当时，，从而2020年药材的单价预计为元/公斤.(2)解：组距为20，自左向右各组的频率依次为从而B药材的平均亩产量为公斤(3)解：预计2022年药材每亩产值为元，药材B每亩产值为元元，所以药材的每亩产值更高，应该种植药材.19．(1)(2)或【解析】【分析】（1）由与的关系： 即可得出通项公式；（2）先利用裂项相消法求出 ，由恒成立，可得需求的最大值，根据的单调性构造不等关系即可求解(1)当时，，即当时，由，故，得.易见不符合该式，故(2)由，易知递增；当时，.从而.又由，故，解得或即实数的取值范围为或20．(1)(2)【解析】【分析】（1）连接，交于点，由线面平行性质可证得，又，由平行线分线段成比例可求得结果；（2）取中点，可证得四边形为矩形，则以坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定可证得平面，可知平面的一个法向量为；设，利用二面角的向量求法可构造方程求得；利用线面角的向量求法可求得结果.(1)连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值为.(2)取中点，连接；，，四边形为平行四边形，，又，四边形为矩形，则，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，即；平面，平面，；平面，，平面；设，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，；又平面的一个法向量为，，解得：；，，，直线与平面所成角的正弦值为.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）将代入圆和椭圆方程，可解得，由此可得椭圆方程；（2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由此可得点坐标，利用，结合基本不等式可知当时，最大，由可求得结果.(1)设，，则以为直径的圆为：，，即，又，，，椭圆的方程为.(2)由题意可设直线，，由得：，则，，，，则，，；设直线倾斜角为，直线倾斜角为，，，，（当且仅当，即时取等号），即当时，取得最大值，此时，.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题中的三角形面积的求解问题；求解三角形面积的关键是能够利用直线斜率表示出，利用基本不等式确定的最大值，由取等条件确定的取值后即可求解22．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求导后，令，利用导数可求得单调性，并得到；①当时，可知，由此可得正负，得到单调性，由极值点定义得到结论；②当时，结合零点存在定理可得到单调性，由极值点定义得到结论；（2）令，利用导数可求得，可知，由单调性可得，分离变量可得；令，可化简得到，利用导数可求得，由此可得结论.(1)；令，则；令，解得：；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；①当，即时，恒成立，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个极值点；②当，即时，，当时，，，，使得；又，当时，；当时，；在，上单调递减，在，上单调递增，有、和三个极值点；综上所述：当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点.(2)由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，则；又，由得：，在上恒成立；，，令，由得：，，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，即的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点的讨论、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值的大小关系的问题，利用导数求解函数最值即可得到结果.