广西专用高考数学一轮复习考点规范练10幂函数与二次函数含解析新人教A版理

考点规范练10　幂函数与二次函数

基础巩固

1.(2020四川乐山期中)下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(　　)

A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1

B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1

C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1

D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1

答案:B

解析:②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,故排除选项C,D,

由①的图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,故排除选项A.

2.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)

答案:D

解析:因为a>0,所以f(x)=xa在区间(0,+∞)内为增函数,故A不符合;

在B中,由f(x)的图象知a>1,由g(x)的图象知0<a<1,矛盾,故B不符合;

在C中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知a>1,矛盾,故C不符合;

在D中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知0<a<1,相符.

3.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:当x>0时,由x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;

当x<0时,由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,可知x=-3;故f(x)的零点个数为2.故选B.

4.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是(　　)

A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a

C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a

答案:B

解析:5-a=

因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.

又<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.

5.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于(　　)

A.- B.- C.c D

答案:C

解析:由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图象关于直线x=-对称,则x1+x2=-,

故f(x1+x2)=f=a-b+c=c.

6.(2020江西鹰潭期末)对于幂函数f(x)=,若0<x1<x2,则f的大小关系是(　　)

A.f B.f

C.f D.无法确定

答案:A

解析:∵幂函数f(x)=在区间(0,+∞)内单调递增,图象是上凸的,

∴当0<x1<x2时,应有f

7.(2020云南红河州一模)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)

A.与x有关,不确定 B.f(bx)≥f(cx)

C.f(bx)>f(cx)  D.f(bx)≤f(cx)

答案:D

解析:因为f(x+1)=f(1-x),所以=1,即b=2,

因为f(0)=3,所以c=3,所以bx=2x,cx=3x,

若x<0,则有0<cx<bx<1,而f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,所以f(bx)<f(cx);

若x=0,则有cx=bx=1,此时有f(bx)=f(cx);

若x>0,则有1<bx<cx,而f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,所以f(bx)<f(cx).

综合可得f(bx)≤f(cx).

8.已知函数f(x)=(m+2)是幂函数,设a=log54,b=lo,c=0.5-0.2,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是(　　)

A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)

C.f(c)<f(b)<f(a) D.f(c)<f(a)<f(b)

答案:D

解析:∵f(x)=(m+2)为幂函数,∴m+2=1,解得m=-1,

∴f(x)=x-2,∴f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∵0<b=lo=log53<a<1,c=0.5-0.2>0.50=1,∴0<b<a<c,

∴f(c)<f(a)<f(b).故选D.

9.若关于x的不等式x2+ax+1≥0对于一切x恒成立,则a的最小值是(　　)

A.0 B.2 C.- D.-3

答案:C

解析:由x2+ax+1≥0得a≥-在x上恒成立.

令g(x)=-,则g(x)在区间上为增函数,所以g(x)max=g=-,所以a≥-

10.(2020四川攀枝花一模)若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm在R上为增函数,则logm+2lg 5+lg 4+=　　　　. 

答案:4

解析:由题意得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.

因为f(x)在R上为增函数,所以m=3,所以f(x)=x3,

故logm+2lg5+lg4+=log3+2lg10++2+=4.

11.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为　　　　　. 

答案:或-3

解析:由题意可知f(x)的图象的对称轴为直线x=-1.

当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.

可知f(2)>f(-3),

即f(x)max=f(2)=8a+1=4.故a=

当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.

综上所述,a=或a=-3.

12.若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-1]

解析:由题意,可得(3x+a)3≤(2x)3,因为y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x,即x+a≤0在区间[a,a+2]上恒成立,所以2a+2≤0,即a≤-1.

能力提升

13.已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上的最大值为-5,则a的值为(　　)

A B.1或 C.-1或 D.-5或

答案:D

解析:f(x)=-4-4a,其图象的对称轴为直线x=

①当1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,

∴f(x)max=f(1)=-4-a2.

令-4-a2=-5,得a=±1(舍去).

②当0<<1,即0<a<2时,f(x)max=f=-4a.

令-4a=-5,得a=

③当0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,

∴f(x)max=f(0)=-4a-a2.

令-4a-a2=-5,得a=-5或a=1(舍去).

综上所述,a的值为或-5.

14.(2020福建三明模拟)已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)内单调递增,函数g(x)=2x-t,若对于任意的x1∈[1,5),总存在x2∈[1,5)使得f(x1)=g(x2),则t的取值范围是(　　)

A.⌀ B.t≥7或t≤1

C.t>7或t<1 D.1≤t≤7

答案:D

解析:∵幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)内单调递增,

解得m=0,∴f(x)=x2,

当x1∈[1,5)时,f(x1)∈[1,25),设集合A=[1,25),

当x2∈[1,5)时,g(x2)∈[2-t,32-t),设集合B=[2-t,32-t),

由题意得A⊆B,解得1≤t≤7.

15.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.

其中正确的是(　　)

A.②④ B.①④ C.②③ D.①③

答案:B

解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.

对称轴为直线x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.

结合题中图象,当x=-1时,y>0,

即a-b+c>0,③错误.

又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,又b=2a,所以5a<b,④正确.

16.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:(方法一)由∀x∈[-1,1],|f(x)|≤1,得|f(1)|=|2a+3b|≤1.

所以6ab=2a·3b(2a+3b)2

且当2a=3b=±时,取得等号.

所以ab的最大值为

(方法二)由题设得故

因此ab=(f(1)-f(0))f(0)故ab的最大值为

高考预测

17.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;乙:0<a<1,则甲是乙成立的(　　)

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:当a=0时,得1>0,符合ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;当a>0时,由ax2+2ax+1>0的解集是R可知Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1;故0≤a<1,故甲是乙成立的必要不充分条件.