广西专用高考数学一轮复习考点规范练13函数模型及其应用含解析新人教A版理

考点规范练13　函数模型及其应用

基础巩固

1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A.y=100x B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x D.y=100log2x+100

答案:C

解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.

2.(2020四川成都段考)“一尺之锤,日取其半,万世不竭”语出《庄子·天下》,意思是一尺长的棍棒,每日截取它的一半,永远截不完(一尺约等于33.33厘米).问:当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为(　　)(尺非国际通用单位)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:A

解析:由题意可知,截取一次剩余的棍棒长度为尺,则截取n次剩余的棍棒长度为尺,由33.33<1,得n≥6,所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为6.

3.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)

A.40万元 B.60万元 C.120万元 D.140万元

答案:C

解析:甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.

4.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米,按每立方米3元收费;用水超过10立方米,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月的水费为55元,则该职工这个月实际用水为(　　)

A.13立方米 B.14立方米 C.15立方米 D.16立方米

答案:C

解析:设该职工这个月的实际用水为x立方米,水费为y元,

由题意,得y=

即y=

易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.

故该职工这个月实际用水为15立方米.

5.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A.略有盈利  B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

答案:B

解析:设该股民购这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.

6.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

答案:D

解析:设=x=,两边取对数,得lgx=lg=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.

7.设某公司原有100名员工从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是　　　　　. 

答案:16

解析:由题意,分流前每年创造的产品A的产值为(100t)万元,分流x人后,每年创造的产品A的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

则解得0<x

因为x∈N*,所以x的最大值为16.

能力提升

8.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A.16 h B.20 h C.24 h D.28 h

答案:C

解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,

所以

由②得,48=e22k·eb,③

把①代入③得e22k=,即(e11k)2=,所以e11k=

所以当储藏温度为33℃时,保鲜时间y==(e11k)3·eb=192=24(h).

9.“好酒也怕巷子深”.许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么厂商为了取得最大广告效应,投入的广告费应为　　　　　.(用常数a表示) 

答案:a2

解析:令t=(t≥0),则A=t2,

∴D=a-A=at-t2=-a2,

∴当t=a,即A=a2时,D取得最大值.

10.(2020广东越秀区期末)碳14是碳的一种具有放射性的同位素,它常用于确定生物体的死亡年数,即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定,一旦生物死亡,碳14摄入停止,生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减,大约经过5 730年衰减为原来的一半,通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年数.设生物体内的碳14的含量为P,死亡年数为t.

(1)试将P表示为t的函数;

(2)不久前,科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的8%,请推算该生物死亡距今多少年?(参考数据:lg 2≈0.3)

解:(1)已知生物体内碳14的含量与死亡年数成指数函数关系,设P=at,

由经过5730年衰减为原来的一半,可得=a5730,

所以a=,

故生物体内碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为P=

(2)由已知,

所以=lo,即t≈21010,所以推算该生物死亡距今约21010年.

高考预测

11.(2020四川绵阳期末)某数学小组进行社会实践调查,了解到如下信息:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表:

根据以上信息,你认为该桶装水经营部把桶装水定价为　　　元/桶时能获得最大利润. 

答案:11.5

解析:由题中表格可知,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.

设每桶水定价为(6+x)元时,该桶装水经营部的日利润为y元,

则y=(6+x-5)(480-40x)-200=-40x2+440x+280=-40+1490(0<x<12),

所以当x=5.5时,y取得最大值,

所以每桶水定价为11.5元时,该桶装水经营部能获得最大利润.