广西专用高考数学一轮复习考点规范练21三角函数的图象与性质含解析新人教A版理

考点规范练21　三角函数的图象与性质

基础巩固

1.(2020湖南湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为2,则f的值为(　　)

A B C.- D.-

答案:D

解析:函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为2,

则=2,解得ω=π.

所以f=sin=sin=-sin=-

2.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=(　　)

A B C D

答案:A

解析:由题意得,函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1==3,x2==6,故函数的周期为2×(6-3)=,又ω>0,∴ω=故选A.

3.(2020湖北黄冈二模)若函数f(x)=sin,则(　　)

A.f(1)>f(3)>f(2) B.f(1)>f(2)>f(3)

C.f(2)>f(1)>f(3) D.f(3)>f(2)>f(1)

答案:B

解析:对于函数f(x)=sin,

f(1)=sin,f(2)=sin,f(3)=sin,

<2-,<f(1)<1;

<4-<π,∴0<f(2)<;

<6-<2π,∴f(3)<0.

故有f(1)>f(2)>f(3).

4.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(　　)

A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称

C.关于点对称 D.关于点对称

答案:B

解析:∵函数f(x)的最小正周期为π,=π.又ω>0,

∴ω=2.∴f(x)=sin

∴由2x+=kπ+,k∈Z,得函数f(x)图象的对称轴方程为x=,k∈Z.

故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.

5.函数f(x)=tan的单调递增区间是(　　)

A(k∈Z) B(k∈Z)

C(k∈Z) D(k∈Z)

答案:B

解析:由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),得<x<(k∈Z),所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).故选B.

6.(2020山东临沂模拟)函数y=cos在区间上的值域为(　　)

A B C D

答案:C

解析:∵0≤x,∴-x-,cos1,即y≤1.

7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ是实数),若f(x)对x∈R恒成立,且f>f(0),则f(x)的单调递增区间是(　　)

A(k∈Z) B(k∈Z)

C(k∈Z) D(k∈Z)

答案:C

解析:由于f(x)对x∈R恒成立,故f=sin=±1,即+φ=+kπ(k∈Z),故φ=+kπ(k∈Z).

因为f=-sinφ,f(0)=sinφ,f>f(0),所以-sinφ>sinφ,所以sinφ<0,所以φ=-+2mπ(m∈Z),所以f(x)=sin

令2kπ-2x-2kπ+(k∈Z),

得kπ+x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

8.已知函数y=sin在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:B

解析:由题意可知函数y=sin的最小正周期T=6,当x=0时,y=;当x=1时,y=1.因为函数y=sin在区间[0,t]上至少取得2次最大值且t取正整数,所以t-1≥T,即t≥7,所以正整数t的最小值为7,故选B.

9.(2020广西北海一模)设函数f(x)=2sin(ω>0),若对任意的实数x,f(x)≤f恒成立,则ω取最小值时,f(π)=(　　)

A B C.- D.-

答案:B

解析:∵函数f(x)=2sin(ω>0)对任意的实数x,有f(x)≤f恒成立,

∴当ω最小时,有ω,求得ω=5,∴f(x)=2sin,

∴f(π)=2sin=2sin=2sin故选B.

10.若函数f(x)=sin(x+φ)的图象记为曲线C,则“f(0)=f(π)”是“曲线C关于直线x=对称”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:在函数f(x)=sin(x+φ)中,若f(0)=f(π),

则sinφ=sin(π+φ),所以sinφ=0,φ=kπ,k∈Z,所以曲线C关于直线x=对称,充分性成立;

若曲线C关于直线x=对称,则f(0)=f(π)成立,即必要性成立.所以“f(0)=f(π)”是“曲线C关于直线x=对称”的充要条件.故选C.

11.(2020河南林州检测)已知函数y=2acos+b(a<0)的定义域是,值域是[-5,1],则a=　　　,b=　　　. 

答案:-2　-1

解析:由x,得2x-,

∴cos,

又a<0,且函数的值域是[-5,1],

解得

12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且f=1,则函数f(x)图象的对称中心是　　　　　　　　　. 

答案:(k∈Z)

解析:由题意得=4π,解得ω=,故f(x)=sin,

由f=1,可得+φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin,

由x+=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-,k∈Z.

所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.

能力提升

13.下列函数中,以为周期且在区间内单调递增的是(　　)

A.y=|cos 2x| B.y=|sin 2x|

C.y=cos|x| D.y=sin|x|

答案:A

解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为,且在区间内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.

14.(2020江西南昌模拟)若函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象的一条对称轴方程为x=,则ω的最小值为(　　)

A B.2 C D.3

答案:C

解析:函数f(x)=sinωx-cosωx=2sin,

由f(x)的图象的一条对称轴方程是x=,

可得ω=kπ+,k∈Z,可得ω=3k+,

由于ω>0,故ω的最小值为

15.(2020辽宁丹东二模)若函数f(x)=sin在区间(0,π)内有且仅有一个极小值点,则正数ω的取值范围为(　　)

A B C D

答案:D

解析:当0<x<π,ω>0时,<ωx+<ωπ+,

∵f(x)在区间(0,π)内有且仅有一个极小值点,

<ωπ++2π,得<故选D.

16.(2020河北石家庄模拟)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)在区间上单调,且ff(x)≤f恒成立,则函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为(　　)

A.1 B C D

答案:A

解析:设函数f(x)的最小正周期为T,由题意知,,即T=π,

∴ω==2,∴f(x)=2cos(2x+φ).

因为f(x)≤f恒成立,所以当x=时,f(x)取得最大值,所以f=2cos=2,

即cos=1,又|φ|<,∴φ=-,

∴f(x)=2cos,∴f(0)=1.

故选A.

高考预测

17.已知函数f(x)=sin(ω>0),若函数f(x)在区间(0,π)内有且只有两个零点,则ω的取值范围为(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵x∈(0,π),ω>0,∴ωx-

要使函数f(x)在区间(0,π)内有且只有两个零点,则π<ωπ-2π,解得<

故选B.