广西专用高考数学一轮复习考点规范练24三角恒等变换含解析新人教A版理

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考点规范练24　三角恒等变换基础巩固1=(　　)A.- B.-1 C D.1答案:D解析:原式=2=2=2sin30°=1.故选D.2.已知α∈0,,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)A B C D答案:B解析:∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.∵α∈0,,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=∵sinα>0,∴sinα=3.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是,则该函数的一个单调递增区间为(　　)A B C D答案:C解析:f(x)=sinωx+cosωx=2sin由题意得最小正周期T=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为4.(2020浙江慈溪期末)已知α∈(0,2π),且1+cos α=4sin α,则sin=(　　)A B C或1 D或1答案:D解析:∵α∈(0,2π),(0,π),sin>0,∵1+cosα=4sinα,∴2cos2=8sincos,∴当cos=0时,可得sin=1;当cos0时,可得cos=4sin,可得sin2+cos2=sin2=17sin2=1,解得sin综上,sin=1,或sin5.已知tan=-,且<α<π,则等于(　　)A B.- C.- D.-答案:C解析:=2cosα,由tan=-,得=-,解得tanα=-3,即=-3,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,所以cosα=-所以原式=2cosα=2=-6.(2020黑龙江哈尔滨三模)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则(　　)A.f(x)的最小正周期为B.曲线y=f(x)关于点对称C.f(x)的最大值为2D.曲线y=f(x)关于直线x=对称答案:D解析:函数f(x)=sin2x-cos2x=sin,所以函数的最小正周期T==π,所以A中说法不正确;f(x)的最大值为,所以C中说法不正确;函数图象的对称中心的横坐标满足2x-=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,可得B中说法不正确;由2x-=kπ+,k∈Z,得函数图象的对称轴方程为x=,k∈Z,当k=0时,x=,所以D中说法正确.7.已知函数f(x)=cos+2cos22x,将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为(　　)A B C D答案:B解析:函数f(x)=cos+2cos22x=cos+1+cos4x=cos4x+sin4x+1+cos4x=cos4x+sin4x+1=sin+1,则由题意,可得y=g(x)=sin2x+1.由2kπ-2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,k∈Z,当k=0时,得-x故选B.8.tan 15°-=　　　　　　. 答案:-2解析:tan15°-=-29.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=　　　　　. 答案:±解析:f(x)=+sinx+a2sin=cosx+sinx+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin依题意有+a2=+3,则a=±10.已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,π)内的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.∵f(x)的图象过点,∴1=asin+cos,可得a=1.∴f(x)=sin2x+cos2x=sin∴函数的最小正周期T==π.(2)由2kπ+2x++2kπ,k∈Z,可得kπ+x+kπ,k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.∵x∈(0,π),当k=0时,可得单调递减区间为11.函数f(x)=cos+sin,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=,,求tan的值.解:(1)f(x)=cos+sin=sin+cossin,故f(x)的最小正周期T==4π.(2)由f(α)=,得sin+cos,则,即1+sinα=,解得sinα=,又,则cosα=故tanα=所以tan=7.能力提升12.(2020广西梧州模拟)关于函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的四个结论:P1:最大值为;P2:把函数y=sin 2x-1的图象向右平移个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的图象;P3:单调递增区间为,k∈Z;P4:图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案:B解析:f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin-1,可得f(x)的最大值为-1,∴P1错误;将y=sin2x-1的图象向右平移个单位长度后得到y=sin2-1=sin-1的图象,∴P2错误;由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,可解得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,即单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z,即+kπ,+kπ,k∈Z,∴P3正确;由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,∴图象的对称中心为+,-1,k∈Z,∴P4正确.13.(2020湖北武汉模拟)设α,,且tan α-tan β=,则(　　)A.3α+β= B.2α+β= C.3α-β= D.2α-β=答案:D解析:∵tanα-tanβ=,,,∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ,∴cosα=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),由诱导公式可得cosα=sin(α-β)=cos,∵α,,(0,π),∴α=-(α-β),变形可得2α-β=14.已知=-,则sin2α+的值是　　　　　. 答案:解析:由=-,得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-又sin=sin2αcos+cos2αsin=(sin2α+cos2α)==(*)当tanα=2时,(*)式=;当tanα=-时,(*)式=综上,sin15.(2020江苏南通模拟)已知sin θ+cos θ=,(1)求θ的值;(2)设函数f(x)=sin2x-sin2(x+θ),x∈R,求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)因为sinθ+cosθ=,所以(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+sin2θ=,即sin2θ=-,又,所以2,所以2θ=-,θ=-(2)由(1)可得θ=-,则f(x)=sin2x-sin2(1-cos2x)-cos2x-cos=-cos2x+=sin2x-cos2x==sin.令2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,则kπ-x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.高考预测16.已知f(x)=sincos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=　　　　. 答案:解析:根据题意,f(x)=2=2sin=2sinx,其周期T==6,且2020=336×6+4,故f(1)+f(2)+…+f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin+2sin+2sinπ+2sin17.已知向量a,b满足a=(-2sin x,(cos x+sin x)),b=(cos x,cos x-sin x),函数f(x)=a·b(x∈R).(1)求f(x)在区间上的值域;(2)已知数列an=n2f(n∈N*),求{an}的前2n项和S2n.解:(1)f(x)=a·b=-sin2x+cos2x=2sin,当x时,2x+,可得2sin即f(x)在区间上的值域为[-,2].(2)∵an=n2f=2n2sin2=2n2sin,∴S2n=[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2],又(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,故S2n=(-2n2-n).