广西专用高考数学一轮复习考点规范练27平面向量基本定理及向量的坐标表示含解析新人教A版理

考点规范练27　平面向量基本定理及向量的坐标表示

基础巩固

1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

答案:B

解析:由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.

2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=(　　)

A.2 B.4

C D

答案:B

解析:以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),

则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1).

所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).

∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),

解得=4.

3.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则=(　　)

A B C D

答案:B

解析:因为在▱ABCD中,有,

所以)=(-1,12)=,故选B.

4.(2020浙江台州期中)已知=(5,-2),=(-4,-3),且=0,其中O为坐标原点,则点P的坐标为(　　)

A.(-9,-1) B C.(1,-5) D

答案:B

解析:由题意知,P是△OAB的重心,又O为坐标原点,所以A(5,-2),B(-4,-3),

所以点P的坐标为,即

5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)

A.(-∞,2) B.(2,+∞)

C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

答案:D

解析:因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.

6.(2020浙江绍兴期中)已知a=(1,-3),b=(-2,1),且(a+2b)∥(ka-b),则实数k=(　　)

A.-2 B.2 C D.-

答案:D

解析:由已知得a+2b=(-3,-1),ka-b=(k+2,-3k-1).

∵(a+2b)∥(ka-b),

∴(-3)×(-3k-1)=(-1)×(k+2),解得k=-

7.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=,且|OC|=2.若=+,则λ+μ=(　　)

A.2 B C.2 D.4

答案:A

解析:因为A(1,0),|OC|=2,∠AOC=,C为坐标平面第一象限内一点,所以C().

又=+,所以()=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).

所以λ=μ=,所以λ+μ=2

8.已知在△ABC中,||=||,=(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t=　　　　. 

答案:1

解析:依题意,得||=||,故△ABC是以AB为底边的等腰三角形,故,

所以=(3-t,-1)·(1,2)=3-t-2=0,解得t=1.

9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. 

答案:

解析:|b|=,

由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,

所以|λ|=

10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.

答案:(-1,1)或(-3,1)

解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).

11.(2020河南开封期末)如图,已知在△OCB中,A是CB的中点,D是线段OB上靠近点B的三等分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.

(1)用a和b表示向量

(2)若=,求实数λ的值.

解:(1)+2+2()=2,

已知=a,=b,=2a-b.

,

=2a-b-b=2a-b.

(2)设=(μ>0),则++μ()=(1-μ)+,

b,=2a-b,=2μa+b.

已知==λa,且a,b不共线,所以λ=2μ,

且=0,解得λ=

能力提升

12.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,

=+(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为(　　)

A B.3 C D

答案:C

解析:因为=+,而D,B,C三点共线,

所以λ+μ=1,所以λ,

当且仅当λ=μ=时取等号,此时,

即D是线段BC的中点,所以||=|=故选C.

13.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2)

答案:D

解析:∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

∴a=-2p+2q=(2,4).

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

则解得

14.(2020内蒙古鄂尔多斯校级一模)已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(0,2),|OB|2+|OA|2=20,若平面内点P满足=3,则|PO|的最大值为(　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

答案:C

解析:设P(x,y),B(m,n),则=(m-x,n-y),=(-x,2-y).

由=3,得

因为|OB|2+|OA|2=20,所以4x2+(6-2y)2+4=20,整理得x2+(y-3)2=4,故点P的轨迹为圆心为(0,3),半径为2的圆.故|PO|的最大值为3+2=5.

15.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+,则λ+μ的最大值为(　　)

A.3 B.2 C D.2

答案:A

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,1),B(0,0),D(2,1).

设P(x,y),圆C的半径为r.由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,

即圆的方程是(x-2)2+y2=

易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).

由=+,得所以μ=,λ=1-y,

所以λ+μ=x-y+1.

设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.

因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,

所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,

即,解得1≤z≤3,

所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.

16.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3a+4b+5c=0,则a∶b∶c=　. 

答案:20∶15∶12

解析:∵3a+4b+5c=0,

∴3a()+4b+5c=0.

∴(3a-5c)+(3a-4b)=0.

在△ABC中,不共线,

解得

∴a∶b∶c=aaa=20∶15∶12.

17.(2020陕西宝鸡校级期中)如图所示,在△ABO中,,AD与BC相交于点M,设=a,=b.

(1)试用向量a,b表示;

(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记=λa,=μb,求证:为定值.

答案:(1)解由A,M,D三点共线,可设=m+(1-m)=ma+b.

由B,M,C三点共线,可设=n+(1-n)a+(1-n)b.

因为a,b不共线,所以解得m=,n=

故a+b.

(2)证明因为E,M,F三点共线,

所以可设=k+(1-k)=kλa+(1-k)μb.

由(1)知kλ=,(1-k)μ=,

即=7k,=7-7k,所以=7.

故=7,是个定值.

高考预测

18.如图,在△ABC中,,E是BD上的一点,若=m,则实数m的值为　　　　. 

答案:

解析:设=t=t()=-t,0≤t≤1,

则-t=(1-t)

又=m,

∴m=(1-t),

解得m=