广西专用高考数学一轮复习考点规范练31等差数列及其前n项和含解析新人教A版理

考点规范练31　等差数列及其前n项和

基础巩固

1.若{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于(　　)

A.-2 B.- C D.2

答案:B

解析:由a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,得a1=1.

又由a3=a1+2d=1+2d=0,得d=-故选B.

2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3+a4=24,则a4+a5+a6等于(　　)

A.38 B.39 C.41 D.42

答案:D

解析:由a1=2,a2+a3+a4=24,得3a1+6d=6+6d=24,解得d=3,所以a4+a5+a6=3a1+12d=42.故选D.

3.(2020山西运城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,且Sn-1,Sn+1,Sn+1(n≥2)成等差数列,则(　　)

A.an= B.an= C.an= D.an=

答案:B

解析:由题意得2(Sn+1)=Sn-1+Sn+1,n≥2,

∴2(S2+1)=S1+S3,即2(a1+a2+1)=a1+a1+a2+a3.

又a2=1,∴a3=3.∴公差d=a3-a2=2,

∴an=a2+(n-2)d=2n-3.

又a1=a2-d=-1,∴Sn=

∴an=,故选B.

4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)

A.18 B.19 C.20 D.21

答案:C

解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,

因此当Sn取得最大值时,n=20.

5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案:D

解析:(方法一)由题知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.

(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.

6.在等差数列{an}中,a1=-2 018,其前n项和为Sn,若=2,则S2 020=(　　)

A.-4 040 B.-2 020 C.2 020 D.4 040

答案:C

解析:由题意得=2,

化简得a12-a10=2d=4,解得d=2,

所以S2020=2020×(-2018)+2020×2019×2=2020.故选C.

7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是　　　　　斤.(注:“斤”非国际通用单位) 

答案:184

解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,

由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,

即8a1+17=996,解得a1=65.

所以a8=65+7×17=184.

8.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.

已知a1=-7,则d=2.

所以{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

能力提升

9.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:

①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.

其中一定正确的是(　　)

A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④

答案:B

解析:设等差数列{an}的公差为d,

则2a1+3a1+6d=6a1+15d,

即a1+9d=0,a10=0,故①正确;

若a1>0,d<0,则S9=S10,

且它们为Sn的最大值,故②错误;

S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,

即S7=S12,故③正确;

S19==19a10=0,

故④正确.

10.(2020全国Ⅱ,理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块

答案:C

解析:由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.

设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+9=3402.故选C.

11.(2020陕西西安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,Sn+Sn+1=4(n+1)2.

(1)求数列{an+an+1}的通项公式;

(2)证明:数列{an}是等差数列.

答案:(1)解∵Sn+Sn+1=4(n+1)2,①

∴Sn+Sn-1=4n2(n≥2).②

①②式相减可得,an+an+1=8n+4(n≥2).

∵S1+S2=2a1+a2=16,且a2=8,∴a1=4.

∴a1+a2=12适合an+an+1=8n+4.

故数列{an+an+1}的通项公式为an+an+1=8n+4.

(2)证明由(1)知an+an+1=8n+4,③

所以an-1+an=8n-4(n≥2).④

③④式相减可得an+1-an-1=8(n≥2).

故数列{an}的奇数项是以8为公差的等差数列,a1=4;

偶数项是以8为公差的等差数列,a2=8.

故数列{an}是一个首项为4,公差为4的等差数列.

12.(2020广西桂林二模)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a5=,S7=63.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)若数列{bn}满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn.

解:(1)(方法一)设正项等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

则解得

∴数列{an}的通项公式为an=2n+1.

(方法二)∵{an}是等差数列,且a1+a5=,

∴2a3=,又an>0,∴a3=7.

∵S7==7a4=63,∴a4=9,

∴公差d=a4-a3=2.

∴an=a3+(n-3)d=2n+1,即数列{an}的通项公式为an=2n+1.

(2)∵bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,

∴bn+1-bn=2n+3.

又b1=a1=3,

∴当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2).

当n=1时,b1=3满足上式,∴bn=n(n+2).

.

∴Tn=+…+

=

==.

高考预测

13.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=30,a3+a6+a9=24,则其前9项和S9=　　　　. 

答案:81

解析:在等差数列{an}中,由a1+a4+a7=3a4=30,得a4=10.

由a3+a6+a9=3a6=24,得a6=8.

故S9==81.

14.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.

解:(1)∵数列{an}的各项均为正数,a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,解得

∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.

(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,

∴满足条件的n组成等差数列{bn},且b1=20,d=5,bn=115,∴项数为+1=20.

∴{bn}的所有项的和为S20=20×20+20×19×5=1350.

又an=2n,即an=2bn,

∴满足条件的所有an的和为2S20=2×1350=2700.