广西专用高考数学一轮复习考点规范练42直线平面平行的判定与性质含解析新人教A版理

考点规范练42　直线、平面平行的判定与性质

基础巩固

1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

答案:D

解析:对于选项A,B,C,由已知条件,可得平面α,β可能平行,也可能相交,所以选项A,B,C不是α∥β的一个充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.

2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

答案:C

解析:对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.

3.设l表示直线,α,β表示平面.给出四个结论:

①若l∥α,则α内有无数条直线与l平行;

②若l∥α,则α内任意的直线与l平行;

③若α∥β,则α内任意的直线与β平行;

④若α∥β,对于α内的一条确定的直线a,在β内仅有唯一的直线与a平行.

以上四个结论中,正确结论的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:C

解析:②中α内的直线与l可异面,④中可有无数条.

4.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.

5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是(　　)

A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α

B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线

C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α

答案:C

解析:如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.

∵n∥α,∴n与α无公共点.

∵m⊂α,∴n与m无公共点.

又m,n共面,∴m∥n,故选C.

6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是(　　)

A.MC⊥AN

B.GB∥平面AMN

C.平面CMN⊥平面AMN

D.平面DCM∥平面ABN

答案:C

解析:显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;

由题意易得GB∥MH,又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,

所以GB∥平面AMN,所以B正确;

因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,

所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.

7.已知平面α∥β,P∉α,且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为　　　　　. 

答案:或24

解析:如图(1),∵AC∩BD=P,∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.

图(1)

∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,∴AB∥CD,

即

解得BD=

如图(2),同理可证AB∥CD.

图(2)

,即

解得BD=24.

综上所述,BD=或24.

8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 

答案:6

解析:过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　　　　　. 

答案:平行

解析:取PD的中点F,连接EF,AF,

在△PCD中,EF?CD.

∵AB∥CD且CD=2AB,

∴EF?AB,

∴四边形ABEF是平行四边形,

∴EB∥AF.

又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,

∴BE∥平面PAD.

10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件　　　　　　　　　　　　　　　　　时,有平面D1BQ∥平面PAO. 

答案:Q为CC1的中点

解析:如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.

连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.

又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.

又D1B∩QB=B,

所以平面D1BQ∥平面PAO.

故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.

11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.

(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;

(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.

答案:(1)证明如图①,取BC的中点N,连接MN,C1N,

∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,

∴M,N,C1,A1共面.

∵BE=3EC,∴E是NC的中点.

又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.

∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,

∴DE∥平面A1MC1.

(2)解如图②,当AA1=1时,则AM=1,A1M=,A1C1=

∴三棱锥A-MA1C1的体积

AM·AA1·A1C1=

①

②

12.(2020广西桂林一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,E为BB1的中点,F为AC1的中点.

(1)求证:EF∥平面ABCD;

(2)求点E到平面AB1C1的距离.

答案:(1)证明如图,连接AC,BD,交于点O,连接OF,

∵OF为△ACC1的中位线,∴OF∥CC1,OF=CC1.

又BB1∥CC1,且BB1=CC1,∴OF∥BB1,2OF=BB1.

又E为BB1的中点,∴OF∥BE,OF=BE.

∴四边形BEFO为平行四边形.∴EF∥BO.

∵BO⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

(2)解连接AE,EC1.

由题意知B1C1⊥平面ABB1A1,

∴B1C1是点C1到平面ABB1A1的距离.

又AB1⊂平面ABB1A1,

∴B1C1⊥AB1.

设点E到平面AB1C1的距离为h.

,B1C1=h,

即1×1×1=1×h,解得h=

故点E到平面AB1C1的距离为

能力提升

13.(2020广西南宁二模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AC,A1B的中点,则下列说法错误的是(　　)

A.MN∥平面ADD1A1

B.MN⊥AB

C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°

D.异面直线MN与DD1所成的角为60°

答案:D

解析:如图,连接BD,A1D,则BD过点M,且M为BD的中点.

由N为A1B的中点,知MN为△A1BD的中位线,

∴MN∥A1D,

∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,

∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,

则AB⊥A1D,∵MN∥A1D,∴MN⊥AB,故B正确;

直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°,故C正确;

而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角,应为45°,故D错误.

故选D.

14.(2020河南开封三模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1内一点,若AP∥平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是(　　)

A　　　　　　　　 B

C  D

答案:B

解析:如右图所示,

分别取棱A1B1,A1D1的中点M,N,连接MN,B1D1,AM,AN.

∵M,N,E,F为所在棱的中点,

∴MN∥B1D1,EF∥B1D1.

∴MN∥EF.又MN⊄平面BDEF,EF⊂平面BDEF,

∴MN∥平面BDEF.

连接NF,由NF∥A1B1,NF=A1B1,A1B1∥AB,A1B1=AB,

可得NF∥AB,NF=AB,则四边形ANFB为平行四边形,

∴AN∥BF,而AN⊄平面BDEF,BF⊂平面BDEF,

∴AN∥平面BDEF.

又AN∩NM=N,∴平面AMN∥平面BDEF.

又P是上底面A1B1C1D1内一点,且AP∥平面BDEF,

∴点P在线段MN上.

在Rt△AA1M中,AM=

同理,在Rt△AA1N中,可求得AN=,则△AMN为等腰三角形.

当P在MN的中点时,AP取得最小值为;

当点P与点M或N重合时,AP取得最大值为

∴线段AP长度的取值范围是故选B.

15.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,在A1B上取一点M,在B1C上取一点N,使得直线MN∥平面A1ACC1,则线段MN的最小值为　　　　. 

答案:

解析:作MM1⊥AB于点M1,作NN1⊥BC于点N1,

连接M1N1,如图.

∵平面ABB1A1⊥平面ABCD,且交线为AB,

∴MM1⊥平面ABCD.同理NN1⊥平面ABCD.

∴MM1∥NN1.

∴M,N,N1,M1四点共面,且四边形MNN1M1为直角梯形.

由作图可知,MM1∥AA1,∵AA1⊂平面A1ACC1,MM1⊄平面A1ACC1,

∴MM1∥平面A1ACC1.∵MN∥平面A1ACC1,且MN∩MM1=M,MN,MM1⊂平面MM1N1N,

∴平面MM1N1N∥平面A1ACC1.

∵平面MM1N1N,平面A1ACC1与平面ABCD的交线分别为M1N1,AC,∴M1N1∥AC.

设BM1=BN1=x,则MM1=2x,NN1=2-2x.

在直角梯形MNN1M1中,

MN2=(x)2+(2-4x)2=18x-2+,

∴当x=时,MN取得最小值为

16.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;

(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.

答案:(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,知AB1∥DC1,A1D∥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面AB1C,A1D∩DC1=D,A1D,DC1⊂平面DA1C1,

∴平面AB1C∥平面DA1C1.

(2)解存在这样的点P满足题意.

如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,

∵B1B?CC1,∴BB1CP,

∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.

∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.

又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,

∴BP∥平面DA1C1.

高考预测

17.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2

(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;

(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.

解:(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.

因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,

所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.

从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,

又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD.

从而平面A'HC⊥平面ABCD,且交线为CH.

过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD.

因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,所以A'H=2,CH=4,

所以cos∠A'HC=

所以HO=A'H·cos∠A'HC=,则A'O=

所以五棱锥A'-BCDFE的体积

V=

(2)在线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=

证明如下:

连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.

A'M=A'C,HO=HC,所以OM∥A'H.

又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,

所以OM∥平面A'EF.

又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,

所以BD∥平面A'EF.

又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,

因为BM⊂平面MBD,所以BM∥平面A'EF.