广西专用高考数学一轮复习考点规范练60二项式定理含解析新人教A版理

考点规范练60　二项式定理

基础巩固

1.x(1+x)6的展开式中x3的系数为(　　)

A.30 B.20 C.15 D.10

答案:C

解析:因为(1+x)6的展开式的第(k+1)项为Tk+1=xk,所以x(1+x)6的展开式中含x3的项为x3=15x3,所以系数为15.

2.设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为(　　)

A.16 B.10 C.4 D.2

答案:B

解析:展开式的通项公式为Tk+1=(-1)k,

令=0,得k=,∴n可取10.

3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)

A.-20 B.-15 C.15 D.20

答案:C

解析:设展开式中的常数项是第(k+1)项,

则Tk+1=(4x)6-k·(-2-x)k=(-1)k·212x-2kx·2-kx=(-1)k·212x-3kx.

令12x-3kx=0,解得k=4,故常数项为T5=(-1)4=15.

4.下列关于(a-b)10的说法,错误的是(　　)

A.展开式中的二项式系数之和是1 024

B.展开式的第6项的二项式系数最大

C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

答案:C

解析:由二项式系数的性质知+…+=210=1024,故选项A正确;二项式系数最大的项为,是展开式的第6项,故选项B正确,C错误;展开式第6项的系数是负数且其绝对值最大,系数是最小的,故选项D正确.

5.(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为(　　)

A.7 B.-7 C.42 D.-42

答案:B

解析:将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为(-1)=-7.

6.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是(　　)

A.74 B.121 C.-74 D.-121

答案:D

解析:展开式中含x3项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

7.使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案:B

解析:Tr+1=(3x)n-r3n-r,当Tr+1是常数项时,有n-r=0,又n∈N*,r∈N,故最小的n值为5.故选B.

8.(2020重庆期末)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=(　　)

A.1 B.32 C.81 D.243

答案:D

解析:令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,

即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243.

9.(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是　　　　　.(用数字作答) 

答案:-160

解析:(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,即T4=(2x)3(-1)3=-160x3.系数为-160.

10.(2020浙江金华模拟)若(x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0=　　　　,-a0+a1-a2+a3-a4+a5=　　　　. 

答案:-1　32

解析:(x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,

令x=0,可得a0=-1.

令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-2)5=-32.

因此-a0+a1-a2+a3-a4+a5=32.

11.设二项式的展开式中x2的系数为A,常数项为B.若B=4A,则实数a=　　　　　. 

答案:-3

解析:Tr+1=x6-r=(-a)rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3=-20a3,代入B=4A,得a=-3.

12.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为5,则实数a=　　　　　. 

答案:-

解析:∵(1+x)5=1+x+x2+x3+x4+x5,

∴(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为a=5,

即10a+10=5,解得a=-

能力提升

13.若的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(　　)

A.-40 B.-20 C.20 D.40

答案:D

解析:在中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.

原式=x2x-5,

故常数项为x(2x)2(2x)3=-40+80=40.

14.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=(　　)

A.256 B.364 C.296 D.513

答案:B

解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①

令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②

由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=

令x=0,则a0=1,故a2+a4+…+a12=-1=364.

15.(2020山东济南模拟)在二项式的展开式中,各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的概率为(　　)

A B C D

答案:D

解析:二项式的展开式中,令x=1,可得各项系数的和为2n=128,即n=7.展开式的通项公式为Tr+1=,

可知,当r=0,2,4,6时,N,即展开式中有4项有理项,有4项无理项.

把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的方法有种,而所有的排法有种,

故有理项都互不相邻的概率为

16.9192除以100的余数是　　　　　. 

答案:81

解析:因为9192=(90+1)92=9092+9091+…+902+90+=k×100+92×90+1=k×100+82×100+81(k为正整数),所以9192除以100的余数是81.

高考预测

17.(2020山西朔州一模)若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数n的值为(　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

答案:C

解析:的二项展开式中二项式系数和为2n,

∴2n=32,∴n=5.

18.(2020河北衡水模拟)(x2+x+1)的展开式中的常数项为(　　)

A.40 B.80 C.120 D.140

答案:B

解析:的展开式的通项公式为Tr+1=(-2)r·x6-2r(r=0,1,2,3,4,5,6),

则(x2+x+1)的展开式中的常数项为(-2)3+(-2)4=-160+240=80.