广西专用高考数学一轮复习考点规范练13函数模型及其应用含解析新人教A版文

考点规范练13　函数模型及其应用

基础巩固

1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)

2.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(　　)

A.[15,20] 

B.[12,25]

C.[10,30] 

D.[20,30]

3.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米,按每立方米3元收费;用水超过10立方米,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月的水费为55元,则该职工这个月实际用水为(　　)

A.13立方米 B.14立方米

C.15立方米 D.16立方米

4.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为(　　)

A.3 000元 

B.3 300元

C.3 500元 

D.4 000元

5.(2021河北沧州三模)生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数函数模型K(n)=λln n来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=+1,在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=9,T=80.据此,累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为(ln 2≈0.69,ln 3≈1.10)(　　)天.

A.6.9 B.11.0

C.13.8 D.22.0

6.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A.略有盈利

B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损

D.无法判断盈亏情况

7.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033 

B.1053

C.1073 

D.1093

8.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)

A.40万元 

B.60万元

C.120万元 

D.140万元

9.设某公司原有100名员工从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是　　　　　. 

能力提升

10.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么厂商为了取得最大广告效应,投入的广告费应为　　　　　.(用常数a表示) 

11.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A.16 h 

B.20 h

C.24 h 

D.28 h

12.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①若不超过200元,则不予优惠;②若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为　　　　　　　　. 

13.(2021山东菏泽高三期中)某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,Ⅰ.f(x)是增函数;Ⅱ.f(x)≤90恒成立;Ⅲ.f(x)≤恒成立.

(1)现有两个奖励函数模型:①f(x)=x+10;②f(x)=2-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?

(2)已知函数f(x)=a-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.

高考预测

14.某数学小组进行社会实践调查,了解到如下信息:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表:

根据以上信息,你认为该桶装水经营部把桶装水定价为　　　　元/桶时能获得最大利润. 

答案：

1.D　解析由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.

2.C　解析设矩形的另一边长为ym,

则由三角形相似知,,∴y=40-x.

∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,

∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.

3.C　解析设该职工这个月的实际用水为x立方米,水费为y元,

由题意,得y=

即y=

易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米,

所以5x-20=55,解得x=15.

故该职工这个月实际用水为15立方米.

4.B　解析由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),

则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)

=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)

≤50=204800,

当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,

故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.

5.C　解析因为Q=+1,且Q=9时,T=80,所以9=+1,解得λ=10.

设初始时间为K1,初始累计繁殖数量为n,累计繁殖数量增加3倍后的时间为K2,

则K2-K1=λln(4n)-λlnn=λln4=20ln2≈13.8(天).

6.B　解析设该股民购这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.

7.D　解析设=x=,两边取对数,得lgx=lg=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D.

8.C　解析甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.

9.16　解析由题意,分流前每年创造的产品A的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产品A的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

则解得0<x≤.

因为x∈N*,所以x的最大值为16.

10.a2　解析令t=(t≥0),则A=t2,

∴D=a-A=at-t2=-a2,

∴当t=a,即A=a2时,D取得最大值.

11.C　解析由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,

所以

由②得,48=e22k·eb,③

把①代入③得e22k=,

即(e11k)2=,所以e11k=.

所以当储藏温度为33℃时,保鲜时间y==(e11k)3·eb=×192=24(h).

12.546.6元　解析依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为

f(x)=

当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;

当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],

故此时x=470.

故两次共购得价值为470+168=638元的商品.

又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.

13.解(1)对于函数模型①f(x)=x+10:验证条件Ⅲ:当x=30时f(x)=12,而=6,

即f(x)≤不成立,故不符合公司要求;

对于函数模型②f(x)=2-6:当x∈[25,1600]时,条件Ⅰf(x)是增函数满足;

∴f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,满足条件Ⅱ;

对于条件Ⅲ:记g(x)=2-6-(25≤x≤1600),

则g(x)=--5)2-1.

∵∈[5,40],∴当=5时,g(x)max=-×(5-5)2-1=-1≤0.

∴f(x)≤恒成立,即条件Ⅲ也成立.

故函数模型②f(x)=2-6符合公司要求.

(2)∵a≥2,∴函数f(x)=a-10符合条件Ⅰ;

由函数f(x)=a-10(a≥2)符合条件Ⅱ,得a-10=a×40-10≤90,解得2≤a≤;

由函数f(x)=a-10(a≥2)符合条件Ⅲ,得a-10≤对x∈[25,1600]恒成立,

即a≤对x∈[25,1600]恒成立.

∵≥2,当且仅当,即x=50时等号成立,

∴a≤2.

综上所述,实数a的取值范围为.

14.11.5　解析由题中表格可知,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.

设每桶水定价为(6+x)元时,该桶装水经营部的日利润为y元,

则y=(6+x-5)(480-40x)-200=-40x2+440x+280=-40+1490(0<x<12),

所以当x=5.5时,y取得最大值,

所以每桶水定价为11.5元时,该桶装水经营部能获得最大利润.