广西专用高考数学一轮复习考点规范练16导数与函数的极值最值含解析新人教A版文

考点规范练16　导数与函数的极值、最值

基础巩固

1.(2021江苏徐州模拟)设x=θ是函数f(x)=3cos x+sinx的一个极值点,则tan θ= (　　)

A.-3 B.- C. D.3

2.函数f(x)=lnx-x的极大值与极小值分别为(　　)

A.极小值为0,极大值为-1

B.极大值为-1,无极小值

C.极小值为-1,极大值为0

D.极小值为-1,无极大值

3.已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值分别为(　　)

A.a=3,b=-3或a=-4,b=11

B.a=-4,b=2或a=-4,b=11

C.a=-4,b=11

D.以上都不对

4.已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均连续且可导,若f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为(　　)

A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)

C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)

5.(2021四川眉山诊断测试)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定正确的是(　　)

A.x=c时,f(x)有极小值

B.f(x)没有极大值

C.x=b时,f(x)有极大值

D.f(a)=0

6.已知函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,) B.(-1,2)

C.(-1,2] D.(1,4)

7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是(　　)

①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};

②f(-)是极小值,f()是极大值;

③f(x)没有最小值,也没有最大值;

④f(x)有最大值,无最小值.

A.①③ B.①②③

C.② D.①②④

8.(2021山东青岛二中月考)若函数f(x)=-x2+7x+aln x在x=2处取极值,则a=　　　　 ,f(x)的极大值为　　　　 . 

9.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,则实数a的取值范围是　. 

10.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 

11.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R).

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.

(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

12.(2021重庆实验中学高三月考)已知函数f(x)=ex-ax,a∈R,e是自然对数的底数.

(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值及f(x)的极值;

(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.

能力提升

13.若对于任意的0<x1<x2<a,都有>1,则a的最大值为(　　)

A.2e B.e C.1 D.

14.(2021辽宁丹东二模)设函数f(x)=x3-3ax2+3ax+4a3,已知f(x)的极大值与极小值之和为g(a),则g(a)的值域为　　　　　　　　. 

15.如图,用平行于母线的竖直平面截一个圆柱,得到底面为弓形的圆柱体的一部分,其中M,N分别为的中点,∠EMF=120°,且EF+EG=6,当几何体的体积最大时,该柱体的高为　　　　. 

16.(2021广西玉林三模)已知函数f(x)=lnx+ax+-6,a∈R.

(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间和函数取得极值时的x值;

(2)若函数m(x)=x+2a,n(x)=f(x)-m(x),且函数n(x)在区间(2,4)上存在极小值,求实数a的取值范围.

高考预测

17.已知函数f(x)=xlnx.

(1)求f(x)的最小值;

(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.

答案：

1.C　解析由已知可得f'(θ)=-3sinθ+cosθ=0,故tanθ=.

2.B　解析f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=-1=,

令f'(x)>0,解得0<x<1,

令f'(x)<0,解得x>1,

故f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,

故f(x)极大值=f(1)=-1,无极小值.

3.C　解析f'(x)=3x2-2ax-b,

则f'(1)=3-2a-b=0,①

f(1)=1-a-b+a2=10,②

由①②可得

当a=3,b=-3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,函数f(x)无极值,故a=-4,b=11.

4.A　解析令F(x)=f(x)-g(x)(x∈[a,b]),

∵f'(x)<g'(x),∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,

∴F(x)在区间[a,b]上单调递减,

∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a),

即f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).

5.A　解析由题图可知,在x=c的左侧附近,f'(x)<0,f(x)单调递减,在x=c的右侧附近,f'(x)>0,f(x)单调递增,故当x=c时,f(x)取得极小值,A正确;从题中图象上看f'(x)=0有三个解,位于(a,c)内的一个解记为x0,则在x=x0的右侧附近,f'(x)<0,f(x)单调递减,在x=x0的左侧附近,f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=x0时,f(x)取得极大值,B错误;

由题图可知,在x=b的两侧附近,均有f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=b不是f(x)的极值点,C错误;

由题图只能得到f'(a)=0,至于f(a)是否为0,没有依据说明,D错误.

6.C　解析由题意知f'(x)=3-3x2,

令f'(x)>0,解得-1<x<1,

令f'(x)<0,解得x<-1或x>1,

由此知函数f(x)在区间(-∞,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,

∴函数f(x)在x=-1处取得极小值-2.

由题意知,-1∈(a2-12,a),

即a2-12<-1<a,解得-1<a<.

又当x=2时,f(2)=-2,故a≤2.

∴-1<a≤2.

7.D　解析由f(x)>0,可得(2x-x2)ex>0,∵ex>0,∴2x-x2>0,

∴0<x<2,故①正确;

f'(x)=ex(2-x2),由f'(x)=0,得x=±,由f'(x)<0,得x>或x<-,由f'(x)>0,得-<x<,∴f(x)的单调递减区间为(-∞,-),(,+∞),单调递增区间为(-),

∴f(x)的极大值为f(),极小值为f(-),故②正确;

∵当x<-时,f(x)<0恒成立,且当x→+∞时,f(x)→-∞,∴f(x)无最小值,但有最大值f(),故③不正确,④正确.

8.-10　-10ln 5　解析f'(x)=-x+7+(x>0),由题可知f'(2)=-2+7+=0,解得a=-10,

所以f'(x)=-x+7-=-.

当f'(x)>0时,得2<x<5;当f'(x)<0时,得0<x<2或x>5.

所以f(x)在区间(0,2),(5,+∞)上单调递减,f(x)在区间(2,5)上单调递增,

故f(x)在x=2处取得极小值,在x=5处取得极大值,且f(x)的极大值为f(5)=-+35-10ln5=-10ln5.

9.(-∞,-15]　解析根据题意,a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,设函数f(x)=4x3+4x2+1,x∈[-2,1].求出导数f'(x)=12x2+8x,令f'(x)=0,得x=0或x=-.所以在区间内,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,在区间-,0内,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(0,1)内,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,因此在区间[-2,1]上,函数f(x)在x=-处取得极大值f,在x=0处取得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以f(-2)=-15是最小值,所以实数a的取值范围是a≤-15.

10.(-∞,-1)　解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a,由题意知,ex+a=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-a,则两函数的图象在第一象限内有交点,如图所示,结合图形可得-a>1,解得a<-1.

11.解(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex,

f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex.

当f'(x)>0时,解得x<-2或x>-1,

当f'(x)<0时,解得-2<x<-1,

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(-1,+∞);

单调递减区间为(-2,-1).

(2)令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,

得x=-a或x=-2.

当a=2时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)无极值,故a=2不符合题意.

当a<2时,-a>-2.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

由上表可知,f(x)极大值=f(-2),

由f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,解得a=4-3e2<2,

所以存在实数a<2,使f(x)的极大值为3,

此时a=4-3e2.

12.解(1)因为f(x)=ex-ax,所以f'(x)=ex-a.

因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=e1-a=0,

即a=e,所以f'(x)=ex-e.

由f'(x)=ex-e>0,得x>1,由f'(x)=ex-e<0,得x<1,

则函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(-∞,1)上单调递减,

故函数f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=0,无极大值.

(2)因为f(x)=ex-ax,所以f'(x)=ex-a,

若a≤0,f(x)在R上单调递增,因此f(x)在区间[0,1]上单调递增,f(x)min=f(0)=1.

若a>0,f(x)在区间(-∞,lna)上单调递减,在区间(lna,+∞)上单调递增.

当1≤lna即a≥e时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=e-a;

当0<lna<1即1<a<e时,f(x)在区间[0,lna)上单调递减,在区间(lna,1]上单调递增,

所以f(x)min=f(lna)=a-alna;

当lna≤0即0<a≤1时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=1.

综上所述,当a≤1时,f(x)min=1;当a≥e时,f(x)min=e-a;当1<a<e时,f(x)min=a-alna.

13.C　解析由题意,可得x2lnx1-x1lnx2<x1-x2,,∴,

据此可得函数f(x)=在区间(0,a)内单调递增,

其导函数f'(x)==-≥0在区间(0,a)内恒成立,所以0<a≤1,

即实数a的最大值为1.

14.(-∞,2]∪(10,+∞)　解析f'(x)=3x2-6ax+3a,

设f'(x)=3x2-6ax+3a=0的两根为x1,x2,且x1<x2,

所以x1+x2=2a,x1x2=a,Δ=36a2-36a>0,即a>1或a<0.

所以=(x1+x2)(-x1x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=2a(4a2-3a)=8a3-6a2,

=(x1+x2)2-2x1x2=4a2-2a,

f(x)在区间(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减.

所以g(a)=f(x1)+f(x2)=-3a()+3a(x1+x2)+8a3=4a3+6a2,所以g'(a)=12a2+12a.

由g'(a)>0可得a>0或a<-1,由g'(a)<0可得-1<a<0,

所以g(a)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,

又因为g(-1)=2,g(1)=10,所以g(a)的值域为(-∞,2]∪(10,+∞).

15.2　解析过点M作MT⊥EF,设MT=x,则ET=TF=x,

设O为所在扇形的圆心,R为扇形半径,

则∠EOT=∠EOF=60°,所以OT=,

则MT=OM-OT=,所以R=2x.

所得柱体的底面积为S=S扇形OEF-S△OEF=πR2-R2sin120°=x2.

又EF+EG=6,所以几何体的高EG=6-2x,所以几何体的体积V=S·EG=(-x3+3x2),其中0<x<3.

令f(x)=-x3+3x2,x∈(0,3),则由f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)=0,解得x=2.列表如下:

所以当x=2时,f(x)取得最大值,相应地几何体的体积V取得最大值,此时该柱体的高EG=2.

16.解(1)当a=0时,f(x)=lnx+-6,其定义域为(0,+∞),则f'(x)=.

当x∈(0,5)时,f'(x)<0,当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,

所以函数f(x)的单调递减区间为(0,5),单调递增区间为(5,+∞),

所以当x=5时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(5)=ln5-5,f(x)无极大值.

(2)由题可得n(x)=f(x)-m(x)=lnx+(a-1)x+-2a-6,定义域为(0,+∞),

则n'(x)=+a-1-,设p(x)=(a-1)x2+x-5,

当a-1=0,即a=1时,p(x)=x-5,

所以当x∈(2,4)时,p(x)<0,即n'(x)<0,所以函数n(x)在区间(2,4)上单调递减,

所以函数n(x)在区间(2,4)上不存在极小值,不符合题意;

当a-1>0,即a>1时,函数p(x)=(a-1)x2+x-5的图象是开口向上的抛物线,

易知函数p(x)的图象的对称轴方程为x=,且<0,

所以函数p(x)在区间(2,4)上单调递增,

若函数n(x)在区间(2,4)上存在极小值,则函数p(x)在区间(2,4)上有零点,且所以<a<;

当a-1<0,即a<1时,函数p(x)=(a-1)x2+x-5的图象是开口向下的抛物线,

易知函数p(x)的图象的对称轴方程为x=,且>0,

若函数n(x)存在极小值,则方程p(x)=0有两个不等实根,即Δ=1+20(a-1)>0,解得<a<1,

此时>10>4,函数p(x)在区间(2,4)上单调递增,而p(2)=4(a-1)-3=4a-7<0,p(4)=16(a-1)-1=16a-17<0,

即x∈(2,4)时,p(x)<0,n'(x)<0,函数n(x)在区间(2,4)上单调递减,

所以函数n(x)在区间(2,4)上不存在极小值,不符合题意.

综上,可得<a<,故实数a的取值范围为.

17.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+lnx,

令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0<x<,

所以当x=时取得最小值,最小值为-.

(2)依题意知,f(x)≥ax-1在区间[1,+∞)内恒成立,

即不等式a≤lnx+对于x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=lnx+(x∈[1,+∞)),

则g'(x)=,

当x≥1时,g'(x)≥0,且g'(x)=0不恒成立,故g(x)在区间[1,+∞)内是增函数,

所以g(x)的最小值是g(1)=1.

因此a≤g(x)min=g(1)=1,

故a的取值范围为(-∞,1].