广西专用高考数学一轮复习考点规范练23三角恒等变换含解析新人教A版文

考点规范练23　三角恒等变换

基础巩固

1.(2021湖南长郡中学模拟)设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　)

A. B.- C. D.-

2.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)

A. B.-

C.或0 D.-或0

3.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是,则该函数的一个单调递增区间为(　　)

A. B.

C. D.

4.(2021安徽黄山高三质检)已知tan2θ-4tan θ+1=0,则cos2=(　　)

A. B. C. D.

5.(2021江苏南京师大附中高三月考)若λsin 160°+tan 20°=,则实数λ的值为(　　)

A.3 B. C.2 D.4

6.(2021河北唐山一中月考)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是(　　)

A. B.

C. D.

7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为(　　)

A. B.- C. D.-

8.(2021江苏南京三模)已知cos,则sin+cos2的值为(　　)

A. B. C. D.1

9.已知α,β均为锐角,且tan α=,cos(α+β)=-.

(1)求cos 2α的值;

(2)求tan(α-β)的值.

10.已知函数f(x)=sin+cos-2sin2(ω>0)的周期为π.

(1)求ω的值;

(2)若x∈,求f(x)的最大值与最小值.

11.(2021广西崇左高中月考)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x-.

(1)求f(x)图象的对称中心的坐标;

(2)若A∈,f(A)=,求cos2A-的值.

能力提升

12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于(　　)

A.- B. 

C.- D.

13.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的四个结论:

P1:最大值为;

P2:把函数y=sin 2x-1的图象向右平移个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的图象;

P3:单调递增区间为,k∈Z;

P4:图象的对称中心为,k∈Z.

其中正确的结论有(　　)

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

14.(2021广西桂林模拟)已知sin α=,cos,α,β∈,则cos=　　　　　. 

15.(2021山东日照质检)已知向量a=,b=(2cos ωx,-)(ω>0),函数f(x)=a·b的图象与直线y=-相邻两个交点之间的距离为.

(1)求ω的值;

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.若α为锐角,g(α)=,求sin α.

高考预测

16.(2021广西南宁一模)若cos,则sin 2α=(　　)

A.- B. C. D.

答案：

1.A　解析因为sin20°=m,cos20°=n,

所以

=

=

=

=.

2.C　解析因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α,

所以2cosα(2sinα-cosα)=0,

解得cosα=0或tanα=.

若cosα=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,

所以tan2α=0;

若tanα=,则tan2α=.

综上所述,故选C.

3.C　解析f(x)=sinωx+cosωx=2sin.

由题意得,最小正周期T=π,则ω=2,

所以f(x)=2sin,由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为.

4.C　解析由tan2θ-4tanθ+1=0,可得tanθ+=4,

所以=4,即=4,即cosθsinθ=,

所以cos2.

5.D　解析由λsin160°+tan20°=,可得λsin20°+,

即λsin20°·cos20°=cos20°-sin20°,

所以sin40°=2sin(60°-20°)=2sin40°,所以λ=4.

6.A　解析∵α∈,∴2α∈.∵sin2α=,∴2α∈,

∴α∈,cos2α=-.

∵β∈,∴β-α∈,

∴cos(β-α)=-,

∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]

=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)

=

=.

又α+β∈,∴α+β=.

7.D　解析由题意知,T=2π,即T==2π,即ω=1.

又当x=时,f(x)取得最大值,

即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.

∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.

∵f(α)=sin+1=,可得sin.

∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.

∴sin=2sincos=2×=-.故选D.

8.D　解析令α-=β,则α=β+,cosβ=,

故sin+cos2=sin+cos2=2cos2β-1+=1.

9.解(1)因为tanα=,tanα=,

所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,

所以cos2α=,因此cos2α=2cos2α-1=-.

(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).

又因为cos=-,

所以sin(α+β)=,

因此tan(α+β)=-2.

因为tanα=,所以tan2α==-.

因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.

10.解(1)∵函数f(x)=sin+cos-2sin2=sinωxcos-cosωxsin+cosωxcos+sinωxsin-2·sinωx+cosωx-1=2sin-1(ω>0),

∴f(x)的周期为=π,∴ω=2.

(2)∵x∈,∴2x+.

∴sin.

∴f(x)的最大值为1,最小值为-2.

11.解(1)f(x)=sinxcosx+sin2x-sin2x+=sin,

由2x-=kπ,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,

即f(x)图象的对称中心的坐标为,k∈Z.

(2)由(1)及题意可得f(A)=sin,

令θ=2A-,

则0<θ<,所以sinθ=,cosθ=,

则cos=cos=cosθcos+sinθsin

=

=.

12.D　解析∵α∈,∴2α∈(0,π).

∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,

∴sin2α=,

又α,β∈,∴α+β∈(0,π),

∵cos(α+β)=-,

∴sin(α+β)=,

∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]

=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)

=.

13.B　解析变形可得f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin-1,可得f(x)的最大值为-1,∴P1错误;

将f(x)=sin2x-1的图象向右平移个单位长度后得到y=sin2-1=sin-1的图象,∴P2错误;

由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,可解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

即单调递增区间为,k∈Z,

即,k∈Z,∴P3正确;

由2x-=kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,∴图象的对称中心为,k∈Z,∴P4正确.

14.　解析因为α∈且sinα=,所以cosα=.

又β∈,cos,所以β+,

所以sin,

所以cos=cos

=-sin

=-

=-

=.

15.解(1)f(x)=a·b

=2sincosωx-

=2cosωx-

=sinωxcosωx+cos2ωx-

=sin2ωx+cos2ωx-

=sin,

由sin=-,得sin=0,

又因为函数f(x)的图象与直线y=-相邻两个交点之间的距离为,所以T=π,

即=π,因为ω>0,所以ω=1.

(2)由(1)知f(x)=sin,

将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,

得到函数y=sin=sin的图象,

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,

得到函数g(x)=sin的图象,

由g(α)=,得sin,

所以sin,

因为α为锐角,所以α-,

所以cos,

所以sinα=sin

=sincos+cossin

=

=.

16.A　解析∵cos,

∴sin2α=cos=2cos2-1=2×-1=-.