广西专用高考数学一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用含解析新人教A版文

考点规范练34　基本不等式及其应用

基础巩固

1.(2021四川宜宾诊断测试)已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是(　　)

A.3 B.2 C.2 D.

2.(2021江苏扬州高邮中学高三月考)设x>0,则y=3-3x-的最大值为(　　)

A.3 B.3-3

C.3-2 D.-1

3.若正实数a,b满足,则ab的最小值为(　　)

A. B.2

C.4 D.8

4.《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.(a>0,b>0)

B.a2+b2≥2(a>0,b>0)

C.(a>0,b>0)

D.(a>0,b>0)

5.(2021广西玉林三模)函数y=a3-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在双曲线=1(m>0,n>0)上,则m-n的最大值为(　　)

A.6 B.-2 C.1 D.4

6.若对任意正数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.[0,+∞) B.

C. D.

7.(2021江苏南京模拟)已知函数f(x)=3x+(a>0)的最小值为5,则a=　. 

8.已知x>0,y>0,且=1,若x+y≥m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 

9.(2021广西南宁三中月考)某社区为了做宣传,决定在办公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上下各空0.25 m,左右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S(单位:m2),则S的最大值为　　　　. 

10.(2021广西柳州模拟)若a,b∈R,ab>0,则的最大值为　　　　　. 

11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是　　　　　. 

12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.

能力提升

13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤2 B.a≥2

C.a≤ D.a≤

14.(2021广东广州模拟)若4x>y>0,则的最小值为　　　　　. 

15.已知x>0,a为大于2x的常数.

(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;

(2)求y=-x的最小值.

16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;

(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

高考预测

17.(2021云南师大附中月考)已知实数a,b满足a-2b=2,则2a+的最小值为　　　　　. 

答案：

1.B　解析由基本不等式可得x+y≥2=2(x>0,y>0),当且仅当x=y=时,等号成立.

因此x+y的最小值是2.

2.C　解析∵x>0,∴y=3-3x-≤3-2=3-2.

当3x=,即x=时,等号成立.

因此y=3-3x-的最大值为3-2.

3.A　解析正实数a,b满足≥2,即ab≥,当且仅当时,等号成立,则ab的最小值为.

4.D　解析由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=,

又由OC=OB-BC=-b=,OF⊥AB,

得FC2=OC2+OF2=.

根据题图知FO≤FC,即,当且仅当a=b时取等号.

5.D　解析令3-x=0,解得x=3,此时y=1,所以A(3,1).

因为点A在双曲线=1(m>0,n>0)上,

所以=1,

所以m-n=(m-n)=10-≤10-2=4,

当且仅当即m=6,n=2时,等号成立,

所以m-n的最大值为4.

6.B　解析因为x>0,所以2a+1≥恒成立.

又因为x+≥4,当且仅当x=2时取等号,

所以的最大值为,所以2a+1≥,解得a的取值范围为.

7.9　解析f(x)=3x+(a>0)=3x+1+-1≥2-1=5⇒a=9,当且仅当x=log32时等号成立.

8.[-3,2]　解析因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·=5+≥5+2=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+3≤9,即m2+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2].

9.4.5 m2　解析设矩形展示区的长为xm,则宽为m.

因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏,要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相邻宣传栏之间也空0.25m,

所以S=(x-0.25×4)=8.5-0.5x-≤8.5-2=4.5,

当且仅当0.5x=,即x=4时,等号成立,所以S的最大值为4.5m2.

10.　解析∵a4+4b4=(a2)2+(2b2)2≥4a2b2,当且仅当a2=2b2时,等号成立,

∴.

又4ab+≥2=4,当且仅当4ab=,即a2b2=时,等号成立,

∴解得a4=,b4=,∴,

∴的最大值为.

11.乙　解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),

方案乙提价后为a.由于p>q>0,

故(1+p%)(1+q%)<,

因此提价多的是方案乙.

12.证明因为a,b均为正实数,所以≥2,

当且仅当,即a=b时,等号成立,

又因为+ab≥2=2,

当且仅当=ab时,等号成立,

所以+ab≥+ab≥2,

当且仅当即a=b=时,等号成立.

13.A　解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,

所以2-a+1≥0.

令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.

由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈,

即2t2-at+1≥0在t∈时恒成立.

由2t2-at+1≥0可得a≤,

即a≤2t+.

又2t+≥2=2,

当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A.

14.　解析因为4x>y>0,则4x-y>0,

≥2=2×,当且仅当4x-y=2y,即当3y=4x时,等号成立,

所以,的最小值为.

15.解(1)∵x>0,a>2x,∴a-2x>0.

y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤,当且仅当x=时取等号,

故函数y=x(a-2x)的最大值为.

(2)y=-x=≥2,当且仅当x=时取等号.

故y=-x的最小值为.

16.解(1)因为每件商品售价为0.05万元,

所以x千件商品销售额为0.05×1000x万元.

依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;

当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-,

则L(x)=

(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.

当x≥80时,L(x)=1200-≤1200-2=1200-200=1000,

当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1000.

因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.

17.4　解析因为a-2b=2,所以2a+=2a+2-2b≥2=4,

当且仅当即a=1,b=-时,等号成立.故2a+的最小值为4.