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    广西专用高考数学一轮复习考点规范练48抛物线含解析新人教A版文

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    这是一份广西专用高考数学一轮复习考点规范练48抛物线含解析新人教A版文,共9页。试卷主要包含了设抛物线C,过抛物线C,已知抛物线C等内容,欢迎下载使用。

    考点规范练48 抛物线

    基础巩固

    1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(  )

    A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)

    2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p=(  )

    A.2 B.3 C.4 D.8

    3.(2021贵州铜仁模拟)抛物线y=ax2(a0)的准线方程是y-2=0,则a的值是(  )

    A. B.- C.8 D.-8

    4.(2021广西柳铁一中月考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA^l,垂足为A,若直线AF的斜率为-,|PF|=4,则抛物线的方程为(  )

    A.y2=4x B.y2=4x

    C.y2=8x D.y2=8x

    5.已知抛物线x2=ay(a0)与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为(  )

    A.x2=y B.x2=6y

    C.x2=-3y D.x2=3y

    6.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且AOB的面积为9,则p=(  )

    A. B.3 C. D.

    7.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为抛物线C上第一象限内的点,Bl上一点,满足,则直线AB的斜率为(  )

    A. B. C.3 D.2

    8.过抛物线C:y2=4x焦点F的直线lC于点A,B,线段AB中点M的纵坐标为1,则直线AB的斜率k的值为    ;线段AB的长度为    . 

    9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

    (1)求该抛物线的方程;

    (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.

     

    10.(2021广西南宁高三检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且OFM=(O为坐标原点).

    (1)求抛物线C的方程;

    (2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求AOB面积的最小值.

     

    能力提升

    11.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=(  )

    A.3 B.6 C.6 D.8

    12.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为1,则p的值为(  )

    A.1 B. C.2 D.4

    13.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2.

    (1)若直线AB的斜率为,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.

    (2)若=λ,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有(-λ)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

     

    高考预测

    14.(2021云南昆明一中模拟)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|AB|=     . 

     

    答案:

    1.B 解析由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B.

    2.D 解析y2=2px的焦点坐标为,0,椭圆=1的焦点坐标为(±,0),

    3p-p=,解得p=8,故选D.

    3.B 解析将抛物线方程化为标准形式得x2=y,其准线方程为y=-=2,所以a=-.

    4.A 解析由直线AF的斜率为-,知PAF=AFK=60°.

    由抛物线的定义知|PF|=|PA|=4,知PAF为等边三角形,故|AF|=4.

    在RtAKF中,|KF|=2,故p=2,故抛物线方程为y2=4x.

    5.D 解析设点M(x1,y1),N(x2,y2).

    消去y,

    x2-2ax+2a=0,

    所以=3,即a=3,

    因此所求的抛物线方程是x2=3y.

    6.C 解析根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=x,与y2=2px联立得B(6p,2p),因为AOB的面积为9,所以×(4p)2=9,解得p=.故选C.

    7.D 解析作出图形,过点AAD直线l,垂足为D,由抛物线的定义可知,|AD|=|AF|,设|AF|=m,

    ,|FB|=2|AF|=2m,

    |BD|==2m.

    设直线AB的倾斜角为θ,则tanθ==2,

    直线AB的斜率为k=tanθ=2.故选D.

    8.2 5 解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),由题意可知直线l的抛物线存在,设为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-1).

    A(x1,y1),B(x2,y2),

    联立方程组

    可得y=k,即ky2-4y-4k=0,则y1+y2==2,解得k=2,则直线l的方程为y=2(x-1),联立方程组消去yx2-3x+1=0,又Δ>0,则x1+x2=3,

    因此|AB|=x1+x2+2=5.

    9.解(1)由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.

    由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,

    所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.

    (2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).

    C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).

    =8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

    整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

    10.解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,准线方程为x=-,过点M作准线的垂线,垂足为N,过点Mx轴的垂线,垂足为D,如图所示,

    依题意得|MF|=|MN|=p+|MF|cos60°,即8=p+4,解得p=4,

    抛物线C的方程为y2=8x.

    (2)焦点F(2,0),由题意知直线l不垂直于y轴,设直线l的方程为x=ty+2,

    消去xy2-8ty-16=0,

    A(x1,y1),B(x2,y2),

    则有y1+y2=8t,y1y2=-16,|AB|=|y1-y2|,

    而坐标原点到直线l的距离d=,

    因此,SAOB=d|AB|=|y1-y2|=≥8,当且仅当t=0时取=,

    所以AOB面积的最小值为8.

    11.C 解析3|AF|=|BF|,

    根据抛物线的定义,可得3=8+,

    解得p=2,

    抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=2,x2=4,x1+x2=6.故选C.

    12.B 解析双曲线-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x.

    又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,

    A,B两点的纵坐标是y=±p.

    AOB的面积为1,·2p=1.

    p>0,p=.

    13.解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),

    则直线AB的方程为y-2=x,即x-2y+4=0.

    A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).

    x2=4y,可得y=x2,故y'=x,

    故抛物线在点A处切线的斜率为2.

    设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

    解得a=-1,b=,r2=,

    故圆的方程为(x+1)2+,

    即为x2+y2+2x-13x+12=0.

    (2)存在.依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-8=0,

    x1x2=-8.

    由已知=λ,得-x1=λx2.

    k=0,这时λ=1,要使(-λ),点Q必在y轴上.

    设点Q的坐标是(0,m),

    从而=(0,2-m),

    -λ=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),

    ·(-λ)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,

    y1-λy2-m(1-λ)=0,

    -m=0,

    (x1+x2)(x1x2-4m)=0,将代入得m=-2.

    所以存在点Q(0,-2)使得(-λ).

    14.9 解析由题意,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),

    根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+2=6,可得x1=4,可得y14.

    不妨设点A位于第一象限,可得A(4,4),

    所以kAF=2,所以直线AB的方程为y=2(x-2),

    联立方程组整理得x2-5x+4=0,可得x1+x2=5,

    由抛物线的定义,可得|AB|=x1+x2+p=5+4=9.

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