广西专用高考数学一轮复习大题专项练2高考中的三角函数与解三角形含解析新人教A版理

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高考大题专项练二　高考中的三角函数与解三角形1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=8,cos B=-.(1)求角A;(2)求AC边上的高. 2.(2021北京高考)已知在△ABC中,c=2bcos B,C=.(1)求B的大小;(2)在三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.①c=b;②周长为4+2;③面积为S△ABC=. 3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小. 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin BsinC.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C. 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C·(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 6.(2021广西崇左二模)已知△ABC中,AB=BC=,且AC2+2AB=5.(1)求∠ABC的值;(2)若P是△ABC内一点,且∠APB=,∠CPB=,求tan∠PBA. 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取值范围. 8.(2021新高考Ⅰ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 答案：1.解(1)在△ABC中,∵cosB=-,∴B∈,∴sinB=.由正弦定理得,即,∴sinA=.∵B∈,∴A∈,∴A=.(2)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=.如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC,垂足为点D.设BD=h.∵sinC=,∴h=BC·sinC=7×,∴AC边上的高为.2.解(1)由题意及正弦定理,得sinC=2sinBcosB=sin2B.∵C=,∴0<B<,∴0<2B<,∴C+2B=π,∴B=.(2)由(1)知A=B=,此时c=b,故不能选①.若选②,则设BC=AC=2x(x>0),∴AB=2x,∴(4+2)x=4+2,解得x=1.∴BC=AC=2,AB=2.设边BC的中点为D,则CD=1.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=4+1-2×2×1×=7,∴AD=.若选③,则设BC=AC=2x(x>0),∴AB=2x.由S△ABC=BC·AC·sinC=·(2x)·(2x)·sinx2=,解得x=.∴BC=AC=,AB=3.设边BC的中点为D,则CD=.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=3+-2×,∴AD=.3.(1)证明由正弦定理及b+c=2acosB,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=,得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB.由sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)·sin60°=.5.解(1)由已知及正弦定理,得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.又sinC≠0,故可得cosC=,又C∈(0,π),所以C=.(2)由已知,absinC=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以△ABC的周长为5+.6.解(1)由AB=BC=,知AB=,BC=,由AC2+2AB=5,知AC2=5-2AB=5-2,在△ABC中,由余弦定理得cos∠ABC=,∵0<∠ABC<π,∴∠ABC=.(2)∵∠PBA+∠PBC=,∠PCB+∠PBC=π-∠BPC=,∴∠PBA=∠PCB,设∠PBA=α,则在△PBC中,由正弦定理得,∴PB=2sinα,在△APB中,由正弦定理得,∴PB=2sin-α,∴sinα=sinsin·cosα-cossinα,∴tanα=,故tan∠PBA=.7.解(1)由题意及正弦定理,得,即a2-ac=b2-c2.所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理,得cosB=,又0<B<π,所以B=.(2)由正弦定理及题设,得=2,所以a=2sinA,c=2sinC,所以2a-c=4sinA-2sinC=2(2sinA-sinC).又A+B+C=π,所以C=-A,A∈,所以2a-c=22sinA-sin-A=2sinA-cosA=6sin.又A∈,所以A-,所以-3<6sin<6,所以2a-c的取值范围为(-3,6).8.(1)证明由正弦定理及题意得BD·b=ac=b2,则BD=b.(2)解由(1)知BD=b,∵AD=2DC,∴AD=b,DC=b.在△ABD中,由余弦定理,得cos∠BDA=,在△CBD中,由余弦定理,得cos∠BDC=.∵∠BDA+∠BDC=π,∴cos∠BDA+cos∠BDC=0.即=0,得33b2=9c2+18a2.∵b2=ac,∴9c2-33ac+18a2=0.∴c=3a或c=a.在△ABC中,由余弦定理知,cos∠ABC=,当c=3a时,cos∠ABC=>1(舍去);当c=a时,cos∠ABC=.综上所述,cos∠ABC=.