广西专用高考数学一轮复习高考大题专项练3高考中的数列含解析新人教A版文

高考大题专项练三　高考中的数列

1.(2021新高考Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=

(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;

(2)求{an}的前20项和.

2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=9,a2+a5=36,数列{bn}满足bn=anlog2an.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{bn}的前n项和Tn.

3.(2021四川成都七中高三月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=3,且S5=4a3+5.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若+…+对n∈N*都成立,求实数m的取值范围.

4.设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.

(1)求Sn和Tn;

(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.

5.(2021北京东城区模拟)已知数列{an}的前n项和是An,数列{bn}的前n项和是Bn,若a1=1,an+1=2an+1,n∈N*,再从三个条件:①Bn=-n2+21n;②Bn+1-bn=Bn-2,b1=20;③bn=22-2log2(an+1)中任选一组作为已知条件,完成下面问题的解答.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)定义:a*b=记cn=an*bn,求数列{cn}的前n项和Tn.

6.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

(1)求q的值;

(2)求数列{bn}的通项公式.

7.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=(n≥2).

(1)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.

8.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)设数列{cn}满足cn=求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).

答案：

1.解(1)b1=a2=a1+1=2,

b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.

由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,

得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.

所以是首项为2,公差为3的等差数列,

所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.

(2)由(1)知,数列的偶数项组成的数列是以3为公差的等差数列,由已知得an=an+1-1,n为奇数,所以数列{an}的奇数项组成的数列也是以3为公差的等差数列.

设数列的前n项和为Sn,则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+×3+20+×3=300,

所以的前20项和为300.

2.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠1),

因为所以

解得a1=2,q=2,所以an=2n.

(2)由(1)知,bn=2nlog22n=n·2n,

则Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,

2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,

两式相减得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2,

故Tn=(n-1)2n+1+2.

3.解(1)设数列{an}的公差为d.

法一:由题意,得

解得故{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).

法二:由S5==5a3,又S5=4a3+5,即a3=5.

∴d=a3-a2=2,故{an}的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-1(n∈N*).

(2)设的前n项和为Tn.

∵,

∴Tn=+…+=,

由题设不等式恒成立,有,解得1<m≤3,

∴所求实数m的取值范围是(1,3].

4.解(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.

所以,Tn==2n-1.

设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.

由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,

从而a1=1,d=1,故an=n.

所以,Sn=.

(2)由(1),有

T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.

由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得,+2n+1-n-2=n+2n+1,

整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.

所以,n的值为4.

5.解(1)由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),又a1=1,则a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,即an=2n-1.

若选①,当n=1时,b1=B1=20;

当n≥2时,bn=Bn-Bn-1=22-2n.∴bn=22-2n.

若选②,由Bn+1-bn=Bn-2,得bn+1-bn=-2,所以数列{bn}是以20为首项,-2为公差的等差数列,∴bn=22-2n.

若选③,则bn=22-2log2(an+1)=22-2n.

(2)由(1)知cn=an*bn=(n∈N*),

∴当1≤n≤3时,Tn=-n=2n+1-2-n;

当n≥4时,Tn=1+3+7+[14+12+…+(22-2n)]=-n2+21n-43.

∴Tn=(n∈N*).

6.解(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,

所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.

由a3+a5=20,得8=20,

解得q=2或q=,

因为q>1,所以q=2.

(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,

由cn=

解得cn=4n-1.

由(1)可知an=2n-1,

所以bn+1-bn=(4n-1)·.

故bn-bn-1=(4n-5)·,n≥2,

bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3.

设Tn=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,

Tn=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,

所以Tn=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,

因此Tn=14-(4n+3)·,n≥2,

又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·,n≥2.因为b1=1满足上式,所以bn=15-(4n+3)·.

7.解(1)因为an=,n≥2,

所以Sn-Sn-1=,即=1,

所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,

所以an==n+(n-1)=2n-1(n≥2),

当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1.

(2)因为,

所以Tn=+…+.

所以Tn<.要使不等式4Tn<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,

故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).

8.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.

依题意,得解得

故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n.

所以,{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n.

(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)

=n×3+×6+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).

记Tn=1×31+2×32+…+n×3n,①

则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1,②

②-①得,2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-+n×3n+1=.

所以,a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3×(n∈N*).