广西专用高考数学一轮复习高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形含解析新人教A版文

高考大题专项练二　高考中的三角函数与解三角形

1.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=2,求BC.

解：(1)在△ABD中,由正弦定理得.

由题设知,,所以sin∠ADB=.

由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=.

(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.

在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC

=25+8-2×5×2=25.

所以BC=5.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b-c=2,cos B=-.

(1)求b,c的值;

(2)求sin(B+C)的值.

解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

又a=3,cosB=-,得b2=32+c2-2×3×c×.

因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×.

解得c=5,所以b=7.

(2)由cosB=-,又B∈(0,π),得sinB=.

由正弦定理得sinA=sinB=.

在△ABC中,B+C=π-A.

所以sin(B+C)=sinA=.

3.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.

(1)求;

(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.

解：(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,

S△ADC=AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.

由正弦定理可得.

(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,

又DC=,所以BD=.

在△ABD和△ADC中,由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.

又AD=1,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

4.(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.

(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;

(2)若sin A+sin C=,求C.

解：(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos150°,

解得c=-2(舍去),c=2.从而a=2.

△ABC的面积为×2×2×sin150°=.

(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,

所以sinA+sinC=sin(30°-C)+sinC=sin(30°+C).

故sin(30°+C)=.

而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.

(1)求cos B的值;

(2)求sin的值.

解：(1)在△ABC中,由正弦定理,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,又sinC≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.

由余弦定理可得cosB==-.

(2)由(1)可得sinB=,

从而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-,

故sins=sin2Bcos+cos2Bsin=-=-.

6.已知函数f(x)=cos+2sinsin.

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

(2)求函数f(x)在区间上的值域.

解：(1)∵f(x)=cos+2sinsin

=cos2x+sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)

=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x

=cos2x+sin2x-cos2x

=sin,

∴周期T==π.

由2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).

故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z).

(2)∵x∈,∴2x-.

∴当2x-,即x=时,f(x)取最大值1;

当2x-=-,即x=-时,f(x)取最小值-.

∴函数f(x)在区间上的值域为.

7.(2020全国Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.

(1)求A;

(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.

答案：(1)解由已知得sin2A+cosA=,即cos2A-cosA+=0.

所以=0,得cosA=.

由于0<A<π,故A=.

(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=sinA.

由(1)知B+C=,所以sinB-sinsin,

即sinB-cosB=,sin.

由于0<B<,故B=.从而△ABC是直角三角形.

8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D为斜边BC上一点,且AC=CD=2.

(1)若CD=2BD,求AD的长;

(2)若AD=BD,求角B的正弦值.

解：(1)∵CD=2,CD=2BD,

∴BD=1,∴BC=3BD=3.

则在Rt△ABC中,cosC=.

在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=4+4-8×.∴AD=.

(2)在△ACD中,由余弦定理可得,

AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=8-8cosC.

在Rt△ABC中,BC=.

故BD=BC-CD=-2=.

∵AD=BD,∴AD2=2BD2.

∴8-8cosC=2·.

∵1-cosC≠0,∴1=,

即cos2C+cosC-1=0.

又cosC>0,∴cosC=.

又B+C=,∴sinB=.