广西专用高考数学一轮复习单元质检4三角函数解三角形A含解析新人教A版理

单元质检四　三角函数、解三角形(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.(2021广西桂林中学高三月考)化简的结果为(　　)

A.sin 10° B. 

C. D.1

2.在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB=(　　)

A.4 B. C. D.2

3.(2021北京高考)函数f(x)=cosx-cos 2x是(　　)

A.奇函数,且最大值为2

B.偶函数,且最大值为2

C.奇函数,且最大值为

D.偶函数,且最大值为

4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A. B.

C. D.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),则B=(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

6.若α∈(0,2π),则满足4sin α-=4cos α-的所有α的和为(　　)

A. B.2π C. D.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α=　　　　　. 

8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是　　　　　. 

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.

(1)求sin(α+π)的值;

(2)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.

10.(15分)(2021北京朝阳质量检测)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcosωx+a(ω>0,a∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)解析式的两个合理条件作为已知,求:

(1)函数f(x)的解析式;

(2)当x∈时,求函数f(x)的单调递增区间.

条件①:f(x)的最大值为1;条件②:f(x)图象的一条对称轴是直线x=-;条件③:f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

11.(15分)已知各项都不相等的等差数列{an}中,a4=10,又a1,a2,a6成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若函数y=a1sin,0<φ<π的一部分图象如图所示,A(-1,a1),B(3,-a1)为图象上的两点,设∠AOB=θ,其中O为坐标原点,0<θ<π,求cos(θ+φ)的值.

答案：

1.B　解析∵.

2.A　解析∵cosC=2cos2-1,且cos,∴cosC=-,

又BC=1,AC=5,∴在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×=32,

∴AB=4.

3.D　解析由题意,x∈R,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x),

所以函数f(x)为偶函数,

又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2,

所以当cosx=时,f(x)取最大值.

4.B　解析由题意,得=2sin(2×0+φ),

即sinφ=.

因为|φ|<,所以φ=,

故f(x)=2sin.

令2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,

则函数f(x)图象的一个对称中心为,故选B.

5.C　解析由已知及正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,即sin(A+B)=sin2C,即sinC=sin2C,又sinC≠0,所以sinC=1,即C=90°,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,

所以B=45°.故选C.

6.D　解析由4sinα-=4cosα-,

所以4(sinα-cosα)=,

即sinα-cosα=0或4sinαcosα=1,

即tanα=1或sin2α=.

因为α∈(0,2π),

所以α=.

所以满足条件的所有α的和为

.

故选D.

7.0或　解析∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,

∴2sinαcosα=4sin2α,

∴sinα=0或cosα=2sinα,

即tanα=0或tanα=.

8.　解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,

∴△ABC的面积S=a·a=bcsinA.

∴sinA=.

由余弦定理,得cosA=,

故=2=sinA+2cosA=sin(A+α),

其中sinα=,cosα=.

当sin(A+α)=1时,取到最大值.

9.解(1)由角α的终边过点P,

得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα=.

(2)由角α的终边过点P,

得cosα=-,

由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.

由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,

所以cosβ=-或cosβ=.

10.解由题意得,选择条件①③.

f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx+a=2·sin2ωx+a=cos2ωx+sin2ωx+a+1=2+a+1=2+a+1=2sin+a+1,

根据条件①:根据sin的取值范围为[-1,1],

∴f(x)max=2+a+1=1,解得a=-2,∴f(x)=2sin-1.

根据条件②:f(x)图象的一条对称轴是直线x=-,

则2ω·=kπ+(k∈Z),解得k=-,这不符合k∈Z的条件,

故直线x=-不可能是f(x)图象的一条对称轴.故不选②.

根据条件③:,解得T=π,

∴T==π,

∴ω=1,

∴f(x)=2sin-1.

(2)由(1)可知f(x)=2sin-1,当x∈时,2x+∈,

令t=2x+,则y=sint在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.令t=,解得x=,令t=-,解得x=-,

∴当x∈时,函数f(x)的单调递增区间为.

11.解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a4=a1+3d=10,①

∵a1,a2,a6成等比数列,

∴=a1·a6,即(a1+d)2=a1(a1+5d),②

由①②,解得a1=,d=3.

∴an=a1+(n-1)d=3n-2(n∈N*).

(2)由(1)知,a1=,∴A(-1,),B(3,-),把A(-1,)代入函数y=sin中,

得φ=+2kπ,k∈Z.

∵0<φ<π,

∴φ=.

∵A(-1,),B(3,-),

∴AO=2,BO=2,AB=2.

在△AOB中,由余弦定理知,cos∠AOB=,

即cosθ==-.

又0<θ<π,∴θ=.

∴cos(θ+φ)=cos=coscos-sinsin.