广西专用高考数学一轮复习单元质检9解析几何含解析新人教A版理

单元质检九　解析几何

(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.(2021新高考Ⅱ)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p的值为(　　)

A.1 B.2 C.2 D.4

2.(2021四川成都第二次联考)已知椭圆=1的上焦点为F,以F点为圆心,且与一条坐标轴相切的圆的方程为(　　)

A.x2+y2-2y=0 B.x2+y2-2x=0 

C.x2+y2-y=0 D.x2+y2-x=0

3.(2021云南师大附中月考)已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:=1(a>0)上一点P到左焦点F1的距离为6,点O为坐标原点,点M为PF1的中点,若|OM|=5,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±2x B.y=±x 

C.y=±x D.y=±4x

4.记双曲线C:=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,点M在双曲线C上,点N满足,若|MF1|=10,O为坐标原点,则|ON|=(　　)

A.8 B.9 C.8或2 D.9或1

5.(2021天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=|AB|,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. 

C.2 D.3

6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是(　　)

A.y=-x+3 

B.x=0或y=-x+3

C.x=0或y=x+3 

D.x=0

7.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)

A. B.1 C. D.

8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为(　　)

A.3 B.2或4 C.4 D.2

9.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率e2=(　　)

A. B.2 C. D.3

10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为(　　)

A. B. C.3 D.9

11.点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a>0)准线的距离为4,F为抛物线的焦点,点N(1,1),当点P在直线l:x-y=2上运动时,的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

12.(2021广西来宾模拟预测)设双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(异于顶点)在双曲线C的右支上,则下列说法正确的是(　　)

A.△PF1F2可能是正三角形

B.P到两渐近线的距离之积是定值

C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为8

D.在△PF1F2中,

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2021广西浦北中学月考)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点与圆x2+my2-6mx-7=0的圆心重合,长轴长等于圆的直径,那么短轴长等于　　　　　. 

14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为　　　　　　. 

15.(2021浙江高考)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　　　,椭圆的离心率是　　　　　. 

16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=　　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

18.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.

19.(12分)(2021全国Ⅰ)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程.

(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.

20.(12分)(2021山东潍坊一模)在平面直角坐标系中,A1,A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A1M,A2M相交于点M且它们的斜率之积是-,记动点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程.

(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,且点P位于x轴上方,记直线A1Q,A2P的斜率分别为k1,k2.

①证明:为定值;

②设点Q关于x轴的对称点为Q1,求△PFQ1面积的最大值.

21.(12分)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.

(1)求抛物线E的方程;

(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

22.(12分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

答案：

1.B　解析本题考查抛物线的性质.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为,焦点到直线y=x+1的距离d=,

即=2,解得p=2或p=-6(舍去),故选B.

2.A　解析由题意,椭圆=1的上焦点为F(0,1),在y轴正半轴上,

故所求圆只能是与x轴相切,切点为原点,所以r=|OF|=1,

可得圆的方程为x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0.

3.A　解析由|OM|=5,得|PF2|=10>6,故点P在双曲线左支上,故|PF1|-|PF2|=-4=-2a,得a=2,故双曲线的方程为=1,故双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

4.B　解析∵a=4,离心率为e==2,

∴c=8.

根据题意e==2,

解得m=48.

∵||MF2|-|MF1||=2a=8,

∴|MF2|=18或2,而|MF2|≥c-a=8-4=4,故|MF2|=18.

∵点N满足,

∴N为MF1的中点,O是F1F2的中点,则|ON|=|MF2|=9.故选B.

5.A　解析设双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为(c,0),

则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-c,

令x=-c,则=1,解得y=±,所以|AB|=,

又因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以|CD|=,

所以,即c=b,

所以a2=c2-b2=c2,

所以双曲线的离心率e=.

6.B　解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,

此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.

当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.

因为弦长为2,圆的半径为2,

所以弦心距为=1.

由点到直线距离公式,

得=1,解得k=-.

综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.

7.D　解析由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|yA-yB|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.

8.B　解析设A(x1,y1),B(x2,y2).

∴两式相减,得(y1+y2)·(y1-y2)=2p(x1-x2),依题意x1≠x2,

∴.

∵M为AB的中点,

∴y1+y2=4,

又F在AB上,

∴,

解得p=2或4.故选B.

9.C　解析设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,

由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,

即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得=4,e1e2=1,即有-4+3=0,解得e2=.

10.A　解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,

则p=8,所以点M(1,4).

因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),渐近线方程为y=±x,

所以直线AM的斜率为.

由题意得,

解得实数a=.

11.B　解析∵点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a>0)准线的距离为4,

∴2+=4,

∴a=,

∴抛物线C:x2=8y,

直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FA⊥l.

设AP=t,则|AN|=,|AF|=2,|PN|=,|PF|=,

设-1=m(m≥-1),

则,

∴m=-1,

即当t=0时,的最小值为.

所以B选项是正确的.

12.B　解析在双曲线C中,可知a=3,b=4,c=5,

A选项,由双曲线的定义可知,|PF1|=|PF2|+2a>|PF2|,△PF1F2不可能是正三角形,故A错误;

B选项,设点P(x0,y0),则=1,即16-9=144,双曲线C的渐近线方程为4x±3y=0.P到两渐近线的距离之积为是定值,故B正确;

C选项,由PF1⊥PF2,可得P+P=F1,即+P=(2c)2,解得PF2=-3,则PF1=+3,故PF1·PF2=16,故C错误;

D选项,设点P(x0,y0),

则sin∠PF1F2=,sin∠PF2F1=,

在△PF1F2中,PF1·PF2·sin∠F1PF2=|y0|·F1F2,故sin∠F1PF2=,

则=,故D错误.

13.2　解析由于x2+my2-6mx-7=0是圆,故m=1,即圆的方程为x2+y2-6x-7=0.其中圆心为(3,0),半径为4,所以椭圆的长轴长为8,即c=3,a=4,b=,所以短轴长为2.

14.8　解析设△OFM的外接圆圆心为O1,

则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.

又因为☉O1与抛物线的准线相切,

所以O1在抛物线上,

所以O1.

又因为圆面积为36π,所以半径为6,

所以p2=36,所以p=8.

15.　解析由题意,可知直线的斜率一定存在,且大于0.

由直线过点F1,可设直线的方程为y=k(x+c)(k>0),

∵直线和圆+y2=c2相切,

∴圆心到直线的距离与半径相等,

∴=c,解得k=.

将x=c代入=1,可得点P的坐标为,

由题意,可知k=tan∠PF1F2=,

∴,

∴,解得e=.

16.2　解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+1,m≠0,

联立得y2-4my-4=0,

y1+y2=4m,y1y2=-4.

而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),

=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).

∵∠AMB=90°,

∴=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+4m(2m-1)+5=4m2-4m+1=0.

∴m=.

∴k==2.

17.解(1)由得圆心C(3,2).

又因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

显然切线的斜率一定存在,

设所求圆C的切线方程为y=kx+3,

即kx-y+3=0,则=1,

所以|3k+1|=,

即2k(4k+3)=0.

所以k=0或k=-.

所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,

即y=3或3x+4y-12=0.

(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又因为|MA|=2|MO|,

所以设M(x,y),

则=2,

整理得x2+(y+1)2=4.

设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,

所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,

所以2-1≤≤2+1,

由5a2-12a+8≥0,得a∈R.

由5a2-12a≤0,得0≤a≤,

因此圆C的横坐标a的取值范围为.

18.解(1)由题意,得e=,可知a=4b,c=b.

∵△PF1F2的周长是8+2,

∴2a+2c=8+2,

∴a=4,b=1.

∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,

由直线y=kx+1与圆T相切可知,

即32k2+36k+5=0,Δ>0,

∴k1+k2=-,k1k2=.

由得(1+16)x2+32k1x=0,

∴xE=-.

同理xF=-,

kEF==.

故直线EF的斜率为.

19.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.

(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).

又F(1,0),则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2).

因为=9,

所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,

得x1=10x2-9,y1=10y2.

又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),

则点Q的轨迹方程为y2=x-.

易知直线OQ的斜率存在.

设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最大值、最小值.

由得k2x2=x-,

即k2x2-x+=0,(*)

当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-4k2·=0,解得k=±,

所以直线OQ斜率的最大值为.

20.(1)解设点M坐标为(x,y),则直线A1M,A2M的斜率分别为,x≠±2,

依题意知=-,化简得=1(x≠±2).

(2)①证明设直线l的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),

则=,

又

消x得(3m2+4)y2+6my-9=0,

得

因此,

故为定值.

②解Q1坐标为(x2,-y2),则直线PQ1方程为y-y1=(x-x1),

令y=0,解得x=+x1=+1=+1=4,

即直线PQ1恒过D(4,0)点.

故=|S△PFD-|=||y1|-|y2||=|y1+y2|=,

当m2=,即m=±时,等号成立,此时△PFQ1面积的最大值为.

21.解(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,

∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.

根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),

∴=2,解得p=4.

∴抛物线E的方程为y2=8x.

∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.

(2)理由如下.

∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,

∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.

∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.

讨论:

若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.

此时|AD|=8,不满足题意;

若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),

由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.

设A(x1,y1),D(x2,y2),

则x1+x2=.

∵抛物线E的准线方程为x=-2,

∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.

∴+4=10,解得k=±2.

当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,

∵(-6)2-4×1×4>0,

∴x2-6x+4=0有两个不相等实数根.

∴k=±2满足题意.

∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.

22.解(1)由已知,a=b,则椭圆E的方程为=1.

由方程组消去y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①

方程①的判别式为Δ=24(b2-3),

由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为=1,点T的坐标为(2,1).

(2)由已知可设直线l'的方程为y=x+m(m≠0),

由方程组

可得

所以点P的坐标为,

|PT|2=m2.

设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

由方程组消去y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②

方程②的判别式为Δ=16(9-2m2).

由Δ>0,解得-<m<.

由②得x1+x2=-,x1x2=.

所以|PA|==,

同理|PB|=.

所以|PA|·|PB|====m2.

故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.