广西专用高考数学一轮复习单元质检12概率B含解析新人教A版理

单元质检十二　概率(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是(　　)

A. B. C. D.

2.(2021广西柳州三模)每次从0~9这10个数字中随机取一个数字(取后放回),连续取n次,依次得到n个数字组成的数字序列.若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9,则n的最小值是(　　)(参考数据:lg 9≈0.954)

A.23 B.22 C.21 D.20

3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)

A. B. C. D.

5.已知随机变量X~N(0.4,),Y~N(0.8,),其正态分布曲线如图所示,则下列说法错误的是(　　)

A.P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)

B.P(X≥0)=P(Y≥0)

C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右

D.两支密度曲线与x轴之间的面积均为1

6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=(　　)

A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.若10件产品包含2件次品,今在其中任取两件,则在已知两件中有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率为　　　　　. 

8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为　　　　　. 

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.

经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

10.(15分)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:

女生统计图

男生统计图

(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;

(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X);

(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)

11.(15分)(2021福建龙岩三模)甲、乙两人进行对抗比赛,每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8 000元奖金并规定:①若有人先赢4场,则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止;②若无人先赢4场且比赛意外终止,则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为p(0<p<1),乙赢的概率为1-p,且每场比赛相互独立.

(1)设每场比赛甲赢的概率为,若比赛进行了5场,主办方决定颁发奖金,求甲获得奖金的分布列;

(2)规定:若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事件,我们可以认为该事件不可能发生,否则认为该事件有可能发生.若本次比赛p≥,且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场,请判断:比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生,并说明理由.

答案：

1.C　解析∵X~B(100,p),

∴E(X)=100p.

又E(X)=24,

∴24=100p,

即p=.

2.B　解析有放回地排列n个数字,得10n个基本事件,其中不含0的基本事件为9n.

由题意得1-≥0.9,

即0.9n≤0.1,n≥≈21.74.

故n最小取22.

3.A　解析(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,

则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,

得P(A|B)=.

(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C,

则P(C)=1-P()P()=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.

故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.故选A.

4.B　解析不妨设小正方形的边长为1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为1,1,,左上角的等腰直角三角形的边长为,2,两个最大的等腰直角三角形的边长为2,2,2,即大正方形的边长为2,故所求概率

P=1-.

5.B　解析由已知得μ1=0.4,μ2=0.8,σ1<σ2.

因为P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)=0.5,所以A正确;

由图象可知,P(X≥0)>P(Y≥0).

故B错误;

分布列X~N(0.4,)的图象比Y~N(0.8,)的图象更“高瘦”,故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,

故C正确;

显然,两支密度曲线与x轴之间的面积均为1,故D正确.

故选B.

6.B　解析由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,

∴p(1-p)=0.24,由P(X=4)<P(X=6)知p4·(1-p)6<p6(1-p)4,即p2>(1-p)2,

∴p>0.5,

∴p=0.6(其中p=0.4舍去).

7.　解析设事件A={两件中有一件不是次品},事件B={两件中恰有一件是次品},

则P(B|A)=.

8.　解析根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有=240(种),而X=1,2,

则P(X=1)=,

P(X=2)=,

故E(X)=1×+2×.

9.解(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束,共有三种情况:

甲连胜四场的概率为;

乙连胜四场的概率为;

丙上场后连胜三场的概率为.

所以需要进行第五场比赛的概率为1-.

(3)丙最终获胜,有两种情况:

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;

比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为.

因此丙最终获胜的概率为.

10.解(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.

故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×=240.

(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4,

故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

由题意可得

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=.

所以随机变量X的分布列为

均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.

(3)由折线图可得.

11.解(1)因为进行了5场比赛,所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况:甲赢4场,乙赢1场;甲赢3场,乙赢2场;甲赢2场,乙赢3场;甲赢1场,乙赢4场.

5场比赛不同的输赢情况有种,即28种.

①若甲赢4场,乙赢1场,甲获得全部奖金8000元;

②若甲赢3场,乙赢2场,当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为,所以甲分得6000元奖金;

③若甲赢2场,乙赢3场,当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为,所以甲分得2000元奖金;

④甲赢1场,乙赢4场,甲没有获得奖金.

设甲可能获得的奖金为X元,则甲获得奖金的所有可能取值为8000,6000,2000,0,P(X=8000)=,

P(X=6000)=,

P(X=2000)=,

P(X=0)=.

甲获得奖金数X的分布列

(2)设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金,则最后一场必然乙赢.

当Y=3时,乙以4∶2赢,P(Y=3)=(1-p)3,

当Y=4时,乙以4∶3赢,P(Y=4)=p(1-p)3=3p(1-p)3,

所以,乙赢得全部奖金的概率为P(A)=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)·(1-p)3.

设f(p)=(1+3p)(1-p)3.

f'(p)=3(1-p)3+(1+3p)·3(1-p)2(-1)=-12p(1-p)2.

因为≤p<1,

所以f'(p)<0,

所以f(p)在上单调递减,

于是f(p)max=f=0.0272<0.05.

故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件.

所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金.