广西专用高考数学一轮复习单元质检四三角函数解三角形A含解析

单元质检四　三角函数、解三角形(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.下列函数中周期为π且为偶函数的是(　　)

A.y=sin B.y=cos

C.y=sin D.y=cos

答案:A

解析:对于选项A,y=-cos2x,周期为π且是偶函数,所以选项A符合题意;

对于选项B,y=sin2x,周期为π且是奇函数,所以选项B不符合题意;

对于选项C,y=cosx,周期为2π,所以选项C不符合题意;

对于选项D,y=-sinx,周期为2π,所以选项D不符合题意.

故答案为A.

2.在△ABC中,cos ,BC=1,AC=5,则AB=(　　)

A.4 B. C. D.2

答案:A

解析:∵cosC=2cos2-1,且cos,∴cosC=-,

又BC=1,AC=5,∴在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×=32,

∴AB=4.

3.函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值为(　　)

A.π,0 B.2π,0 C.π,2- D.2π,2-

答案:C

解析:因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin,

所以最小正周期为π,

当sin=-1时,函数f(x)取得最小值为2-.

4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由题意,得=2sin(2×0+φ),即sinφ=.

因为|φ|<,所以φ=,故f(x)=2sin.

令2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,

则函数f(x)图象的一个对称中心为-,0,故选B.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-a2),则B=(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

答案:C

解析:由已知及正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,即sin(A+B)=sin2C,即sinC=sin2C,又sinC≠0,所以sinC=1,即C=90°,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.

6.(2020广西钦州一模)若α∈(0,2π),则满足4sin α-=4cos α-的所有α的和为(　　)

A. B.2π C. D.

答案:D

解析:由4sinα-=4cosα-,

所以4(sinα-cosα)=,

即sinα-cosα=0或4sinαcosα=1,

即tanα=1或sin2α=.因为α∈(0,2π),所以α=.所以满足条件的所有α的和为.故选D.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α=　　　　　. 

答案:0或

解析:∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,

∴2sinαcosα=4sin2α,∴sinα=0或cosα=2sinα,

即tanα=0或tanα=.

8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:∵AD为BC边上的高,且AD=a,

∴△ABC的面积S=a·a=bcsinA.∴sinA=.

由余弦定理,得cosA=,

故=2=sinA+2cosA=sin(A+α),

其中sinα=,cosα=.

当sin(A+α)=1时,取到最大值.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.

(1)求sin(α+π)的值;

(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.

解:(1)由角α的终边过点P,

得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα=.

(2)由角α的终边过点P,

得cosα=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.

由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,

所以cosβ=-或cosβ=.

10.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b=3(c-acos B).

(1)求cos A;

(2)过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D,若CD=3,2AD=3AC,求△ACD的面积.

解:(1)由已知及正弦定理得,2sinB=3(sinC-sinAcosB)

=3[sin(A+B)-sinAcosB]

=3(sinAcosB+cosAsinB-sinA·cosB)

=3cosAsinB.

∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosA=.

(2)如图,

∵cos∠BAC=,

∴sin∠BAC=.

又∠BAC+∠CAD=,∴cos∠CAD=sin∠BAC=,sin∠CAD=cos∠BAC=.

设AD=3x,x>0,则AC=2x.在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD,即9=4x2+9x2-2×2x·3x·.解得x=1.∴AD=3,AC=2,

∴S△ACD=AC·ADsin∠CAD=×2×3×=2.

11.(15分)(2020江西南昌模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中,a4=10,又a1,a2,a6成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若函数y=a1sin,0<φ<π的一部分图象如图所示,A(-1,a1),B(3,-a1)为图象上的两点,设∠AOB=θ,其中O为坐标原点,0<θ<π,求cos(θ+φ)的值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

则a4=a1+3d=10,①

∵a1,a2,a6成等比数列,

∴=a1·a6,即(a1+d)2=a1(a1+5d),②

由①②,解得a1=,d=3.

∴an=a1+(n-1)d=3n-2(n∈N*).

(2)由(1)知,a1=,∴A(-1,),B(3,-),把A(-1,)代入函数y=sinx+φ中,

得φ=+2kπ,k∈Z.

∵0<φ<π,∴φ=.

∵A(-1,),B(3,-),∴AO=2,BO=2,AB=2.

在△AOB中,由余弦定理知,cos∠AOB=,

即cosθ==-.又0<θ<π,∴θ=.

∴cos(θ+φ)=cos=coscos-sinsin.