广西专用高考数学一轮复习单元质检四三角函数解三角形B含解析

单元质检四　三角函数、解三角形(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)

1.(2020全国Ⅲ,理7)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:∵AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=16+9-24×=9,

∴AB=3,

∴cosB=.

2.已知tan θ+=4,则cos2=(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由tanθ+=4,得=4,即=4,

∴sinθcosθ=,

∴cos2.

3.已知函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:因为函数y=sin的图象关于直线x=a对称的图象对应的函数为y=sin,

即y=cos=cos,

又因为函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,所以y=cos=cos2x+-4a,所以a可以为.故选A.

4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC的周长的取值范围是(　　)

A.(1,3] B.[2,4] C.(2,3] D.[3,5]

答案:C

解析:在△ABC中,由余弦定理可得2cosC=.

∵a=1,2cosC+c=2b,∴+c=2b,

∴(b+c)2-1=3bc.

∵bc≤,∴(b+c)2-1≤3×,

即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.

故a+b+c≤3.

∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.

故△ABC的周长的取值范围是(2,3].

5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)

A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A

答案:A

解析:∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,

∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,

∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinA·cosC,

∴2sinBcosC=sinAcosC,又△ABC为锐角三角形,

∴2sinB=sinA,由正弦定理,得a=2b.故选A.

二、填空题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)

6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　　. 

答案:

解析:因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,

所以sinA=,sinC=,

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC=.

又因为,所以b=.

7.(2020全国Ⅲ,理16)关于函数f(x)=sin x+有如下四个说法:

①f(x)的图象关于y轴对称.

②f(x)的图象关于原点对称.

③f(x)的图象关于直线x=对称.

④f(x)的最小值为2.

其中所有正确说法的序号是　　　　　. 

答案:②③

解析:对于①②,由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+=-sinx-=-f(x),所以该函数为奇函数,其图象关于原点对称,故①说法错误,②说法正确;

对于③,因为f(π-x)=sin(π-x)+=sinx+=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,③说法正确;

对于④,令t=sinx,则t∈[-1,0)∪(0,1],由函数g(t)=t+(t∈[-1,0)∪(0,1])的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④说法错误.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

8.(14分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.

(1)求b,c的值;

(2)求sin(B-C)的值.

解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

得b2=32+c2-2×3×c×.

因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×.

解得c=5,所以b=7.

(2)由B为△ABC的内角,又cosB=-得sinB=.

由正弦定理得sinC=sinB=.

在△ABC中,角B是钝角,所以角C为锐角.

所以cosC=.

所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=.

9.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=对称,其中ω∈.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.

解:(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx=2sin的图象关于直线x=对称,

所以2ω×=kπ+(k∈Z),所以ω=+1(k∈Z).

因为ω∈,所以-+1<(k∈Z),

所以-1<k<1(k∈Z),所以k=0,ω=1,

所以f(x)=2sin.

(2)因为f=2sinB=,所以sinB=.

因为B为锐角,所以0<B<,所以cosB=.

因为cosB=,所以,又b=,

所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,所以ac≤3,

当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,

所以△ABC面积的最大值为×3×.

10.(15分)(2020重庆九龙坡检测)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.

(1)若∠ABC=15°,求CD;

(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积有最小值?求出最小值.

解:(1)在四边形ABCD中,因为AD⊥AB,∠BCD=120°,∠ABC=15°,所以∠ADC=135°,

由AD⊥AB,∠CAB=60°,可得∠CAD=90°-60°=30°,又AC=2,由正弦定理得,解得CD=.

(2)由∠CAB=60°,AD⊥AB可得∠CAD=30°,

又∠ADC=150°-θ,所以在△ADC中,⇒DC=.

在△ABC中,⇒BC=,

所以△BCD的面积S△BCD=DC·BC·sin120°

=

=.

又0°<θ<120°,所以-60°<2θ-60°<180°,

所以当sin(2θ-60°)最大,即2θ-60°=90°,θ=75°时,S△BCD取最小值6-3.