广西专用高考数学一轮复习单元质检九解析几何含解析

单元质检九　解析几何

(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是(　　)

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0

C.3x-4y+16=0

D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0

答案:D

解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,且m≠1,由=3,解得m=16或m=-14.

即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.

2.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点,则该双曲线方程为(　　)

A.x2-y2=1 B.-y2=1

C.x2-=1 D.=1

答案:A

解析:椭圆+y2=1的焦点位于x轴,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,

据此可知,椭圆的焦点坐标为(±1,0),x轴上的顶点坐标为(±,0),

结合题意可知,双曲线的焦点位于x轴,且c=,a=1,b=1,

则该双曲线方程为x2-y2=1.

3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C.2 D.

答案:D

解析:由抛物线方程可得准线l的方程为x=-1.

由得y1=-.

由得y2=.

∴AB=.

由|AB|=4|OF|得=4,故=2.

2=.

∴e=,故选D.

4.(2020广东汕尾期末)记双曲线C:=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,点M在双曲线C上,点N满足,若|MF1|=10,O为坐标原点,则|ON|=(　　)

A.8 B.9 C.8或2 D.9或1

答案:B

解析:∵a=4,离心率为e==2,∴c=8.

根据题意e==2,

解得m=48.

∵||MF2|-|MF1||=2a=8,

∴|MF2|=18或2,而|MF2|≥c-a=8-4=4,

故|MF2|=18.

∵点N满足,

∴N为MF1的中点,O是F1F2的中点,

则|ON|=|MF2|=9.故选B.

5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:由题意可知2n2=2m2+c2.

因为m2+n2=c2,所以m=.

因为c是a,m的等比中项,

所以c2=am,代入m=,解得e=.

6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是(　　)

A.y=-x+3 B.x=0或y=-x+3

C.x=0或y=x+3 D.x=0

答案:B

解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,

此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.

当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.

因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.

由点到直线距离公式,得=1,解得k=-.

综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.

7.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)

A. B.1 C. D.

答案:D

解析:由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|yA-yB|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.

8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为(　　)

A.3 B.2或4 C.4 D.2

答案:B

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).

∴两式相减,得(y1+y2)·(y1-y2)=2p(x1-x2),依题意x1≠x2,∴.

∵M为AB的中点,∴y1+y2=4,

又F在AB上,∴,

解得p=2或4.故选B.

9.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率e2=(　　)

A. B.2 C. D.3

答案:C

解析:设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,

由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,

即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得=4,e1e2=1,

即有-4+3=0,

解得e2=.

10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=(　　)

A. B. C.3 D.9

答案:A

解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,

则p=8,所以点M(1,4).

因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),渐近线方程为y=±x,所以直线AM的斜率为.

由题意得,解得实数a=.

11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=(　　)

A.3 B.6 C.12 D.42

答案:B

解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,

即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),

得x=p或x=0(舍去),故xA=xB=p.

又因为|AF|=xA+p+=7,所以p=6.

12.点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a>0)准线的距离为4,F为抛物线的焦点,点N(1,1),当点P在直线l:x-y=2上运动时,的最小值为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:∵点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a>0)准线的距离为4,

∴2+=4,∴a=,∴抛物线C:x2=8y,

直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FA⊥l.

设AP=t,则|AN|=,|AF|=2,|PN|=,|PF|=,设-1=m(m≥-1),

则,

∴m=-1,即当t=0时,的最小值为.

所以B选项是正确的.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=　　　　　. 

答案:2

解析:由题意知a=1,b=,m>0,c=,则离心率e=,解得m=2.

14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为　　　　　　. 

答案:8

解析:设△OFM的外接圆圆心为O1,

则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.

又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1.

又因为圆面积为36π,所以半径为6,

所以p2=36,所以p=8.

15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,

∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,

|OP|=.

设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,

则tanθ=.又tanθ=,∴,解得a2=3b2,

∴e=.

16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=　　　　　. 

答案:2

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+1,m≠0,

联立得y2-4my-4=0,

y1+y2=4m,y1y2=-4.

而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),

=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).

∵∠AMB=90°,

∴=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)

=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5

=-4(m2+1)+4m(2m-1)+5

=4m2-4m+1=0.

∴m=.∴k==2.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解:(1)由得圆心C(3,2).

又因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

显然切线的斜率一定存在,

设所求圆C的切线方程为y=kx+3,

即kx-y+3=0,则=1,

所以|3k+1|=,

即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.

所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,

即y=3或3x+4y-12=0.

(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又因为|MA|=2|MO|,

所以设M(x,y),

则=2,

整理得x2+(y+1)2=4.

设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,

所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤≤2+1,

由5a2-12a+8≥0,得a∈R.

由5a2-12a≤0,得0≤a≤,

因此圆C的横坐标a的取值范围为.

18.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.

解:(1)由题意,得e=,可知a=4b,c=b.

∵△PF1F2的周长是8+2,

∴2a+2c=8+2,∴a=4,b=1.

∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,

由直线y=kx+1与圆T相切可知,

即32k2+36k+5=0,Δ>0,

∴k1+k2=-,k1k2=.

由得(1+16)x2+32k1x=0,

∴xE=-.

同理xF=-,kEF=.

故直线EF的斜率为.

19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程.

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).

设A(x1,y1),B(x2,y2).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

Δ=16k2+16>0,

故x1+x2=.

所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.

由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.

因此l的方程为y=x-1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

解得

因此所求圆的方程为

(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和圆O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.

(1)求圆心P的轨迹E的方程;

(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.

解:(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4>O1O2=2,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以所求轨迹E的方程为=1(x≠-2).

(2)设点M的坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),

代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

所以x0×(-2)=,

所以x0=,

同理|AM|==,

同理|AN|=.

所以S=|AM|·|AN|=.

所以.令k2+1=t>1,则,

又g(t)=12t+1-在区间(1,+∞)内单调递增,

所以∈(0,6).故的取值范围为(0,6).

21.(12分)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.

(1)求抛物线E的方程;

(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,

∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.

根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),

∴=2,解得p=4.

∴抛物线E的方程为y2=8x.

(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,

∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.

∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.

讨论:

若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,

解得y=±4.

此时|AD|=8,不满足题意;

若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),

由

得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.

设A(x1,y1),D(x2,y2),

则x1+x2=.

∵抛物线E的准线方程为x=-2,

∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.

∴+4=10,

解得k=±2.

当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,

∵(-6)2-4×1×4>0,

∴x2-6x+4=0有两个不相等实数根.

∴k=±2满足题意.

∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.

22.(12分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

解:(1)由已知,a=b,则椭圆E的方程为=1.

由方程组消去y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①

方程①的判别式为Δ=24(b2-3),

由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为=1,点T的坐标为(2,1).

(2)由已知可设直线l'的方程为y=x+m(m≠0),

由方程组可得

所以点P的坐标为,

|PT|2=m2.

设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

由方程组消去y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②

方程②的判别式为Δ=16(9-2m2).

由Δ>0,解得-<m<.

由②得x1+x2=-,x1x2=.

所以|PA|=

=,

同理|PB|=.

所以|PA|·|PB|

=

=m2.

故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.