广西专用高考数学一轮复习单元质检5平面向量数系的扩充与复数的引入含解析新人教A版文

单元质检五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)

1.(2021全国Ⅰ)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　)

A.1-2i B.1+2i 

C.1+i D.1-i

2.(2021山西名校联考三模)已知△ABC的重心为O,则向量=(　　)

A. 

B.

C.- 

D.-

3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=(　　)

A.2 B.3

C. D.

4.(2021山东济宁模拟)已知=(-1,3),=(3,1),若线段BC的一个三等分点为M,则的坐标为(　　)

A.

B.

C.

D.

5.已知复数z=a+(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 

B.第二象限

C.第三象限 

D.第四象限

6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是(　　)

A.(-3,0) B.(2,0) 

C.(3,0) D.(4,0)

7.已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)

A.a+2b B.2a+b

C.a-2b D.2a-b

8.(2021湖南衡阳八中高三月考)已知复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则|pi+q|=(　　)

A.25 B.5 C. D.41

9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为.若a-λb与b垂直,则实数λ的值为(　　)

A.- B.

C.- D.

10.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)

A. B. 

C. D.

11.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,,若=12,则∠ADC=(　　)

A. B. 

C. D.

12.(2021天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,AD⊥BD,||=,∠BAD=),),则的最大值为(　　)

A. B. 

C. D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.复数z=(i为虚数单位),则|z|=　　　　. 

14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点.若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为　　　　　. 

15.(2021山东青岛模拟)18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点O的距离.在复平面内,复数z0=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,其对应的点为Z0,Z为曲线|z|=1上的动点,则Z0与Z之间的最小距离为　　　. 

16.(2021天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为　　　　　;()·的最小值为　　　　　. 

答案：

1.C　解析设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.

2.C　解析如图,设E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点.因为O是△ABC的重心,

所以)==-.

3.C　解析∵|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=|a|2+4a·b+4|b|2=5+4×4=21,∴|a+2b|=.

4.A　解析由线段BC的一个三等分点为M,得2=2.若2,

则2-2,故;若=2,则=2-2,故.

5.A　解析由题意,得

z=a+=a+,

∴.

又复数z的共轭复数的虚部为-,

∴-=-,解得a=2.∴z=i,

∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

6.C　解析设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).

7.D　解析由题意可知,a·b=|a||b|cos60°=.

对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=≠0,不符合题意;

对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;

对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-≠0,不符合题意;

对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.

8.C　解析因为复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,

所以(i-2)2+p(i-2)+q=0,所以pi+q=4i+2p-3,

所以解得则|pi+q|=|4i+5|=.

9.D　解析因为a-λb与b垂直,且a·b=1×2×cos,

所以(a-λb)·b=-4λ=0,解得λ=,故选D.

10.D　解析由题意,得=(2+cosα,2+sinα),

所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,

如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.

11.C　解析因为=-=-,

所以·-=×9+×3×2cos∠BAD+×4=8+8cos∠BAD=12,所以cos∠BAD=,∠BAD=,∠ADC=.

12.C　解析由题意,以点D为坐标原点,以方向为x轴的正方向,以方向为y轴的正方向,建立直角坐标系如图所示.

因为||=,∠BAD=,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,).

又因为),),

所以M,N分别为BA,DA的中点,因此M,N.

因为∠DCB为直角,所以CD⊥BC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点.

设C(x,y),则+y2=,即x2+y2=x.

又,

所以=-x+x2+y+y2=x-y+.

令m=x-y,即x-2y-2m=0,

所以点C(x,y)为直线x-2y-2m=0与圆+y2=的一个交点,

因此圆心到直线x-2y-2m=0的距离小于等于半径,即,

解得≤m≤,

所以的最大值为.

13.　解析|z|=.

14.　解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,

则E.

设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,

则=2x+y,令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值.

15.1　解析由z0=,

因为复数z0=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,所以a+2=0,解得a=-2.

所以z0=2i,则Z0(0,2).

由于|z|=1,故设Z(x,y),又x2+y2=1,-1≤y≤1,

所以|ZZ0|=≥1,

故Z0与Z之间的最小距离为1.

16.1　　解析设BE=x,x∈.∵△ABC为边长为1的等边三角形,DE⊥AB,

∴∠BDE=30°,BD=2x,DE=x,DC=1-2x.

∵DF∥AB,∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形,DE⊥DF,

∴=4+4=4x2+4x(1-2x)×cos0°+(1-2x)2=1,

∴|2|=1.

∵()·=()·()=+(1-2x)×(1-x)×cos0°=5x2-3x+1=5,

∴当x=时,()·有最小值,为.