广西专用高考数学一轮复习单元质检7不等式推理与证明含解析新人教A版文

单元质检七　不等式、推理与证明

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)

1.已知a>0,b>0,且成等差数列,则a+9b的最小值为(　　)

A.16 B.9 C.5 D.4

2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理(　　)

A.结论正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.全不正确

3.(2021浙江,5)若实数x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是(　　)

A.-2 B.- C.- D.

4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)

A.[0,2] B.[-2,0]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(　　)

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

6.若实数a,b满足约束条件的最小值为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

7.已知不等式>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　)

A.(-∞,0] 

B.(-∞,1)

C.(-∞,4) 

D.(4,+∞)

8.已知关于x的不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为(　　)

A. 

B.

C.{x|-3<x<2} 

D.{x|x<-3或x>2}

9.(2021湖南湘潭质检)近年来,冬季气候干燥,冷空气频繁来袭.为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元/月和8万元/月,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区(　　)千米处.

A.5 B.6 C.7 D.8

10.已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为(　　)

A. B.1 

C. D.

11.(2021广西贵港模拟)某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测,甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,该投资人可能获得的最大盈利为(　　)

A.40万元 

B.50万元 

C.60万元 

D.70万元

12.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)

A.9 B.12 

C.16 D.10

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.观察分析下表中的数据:

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　　　　　. 

14.(2021浙江杭州高三期末)若a>0,b>0,且a+b=1,则a2+b2的最小值为　　　　　,的最大值为　　　　　. 

15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.若y=sin x在区间(0,π)内是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　. 

16.(2021云南曲靖模拟预测)若实数x,y满足约束条件则z=ax+by(a>b>0)取最大值4时,的最小值为　　　　　. 

答案：

1.A　解析∵成等差数列,∴=1.

又a>0,b>0,∴a+9b=(a+9b)=10+≥10+2=16,

当且仅当,且=1,即a=4,b=时等号成立.

故选A.

2.C　解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.

3.B　解画出满足约束条件的可行域,如下图所示.

目标函数z=x-y化为y=2x-2z,

作出直线y=2x,并平移,由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最大,此时z最小.

由解得即A(-1,1).

故z的最小值为-.

4.D　解析∵2x+2y=1≥2,

∴≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.

5.B　解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.

6.A　解析先根据实数a,b满足画出可行域.

设z=,

则z的几何意义为可行域内的点与点(0,0)连线的斜率,

由可得点A的坐标为(1,1).

在可行域内的点A(1,1)与O连线的斜率的值即为z=的最小值,最小值为1.故选A.

7.C　解析由题意,可变形得λ<(a-c)·=[(a-b)+(b-c)]·=1++1,因为a>b>c,所以1++1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C.

8.C　解析由题意知a>0,且,-是关于x的方程ax2-5x+b=0的两根,

∴解得a=30,b=-5,

∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.

9.A　解析设供热站应建在离社区x千米处,则每月自然消费y1=,每月供热费y2=k2x.

由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8,

所以k1=xy1=10,k2=,

所以y1=,y2=,

所以两项费用之和y1+y2=≥2=4,

当且仅当,即x=5时等号成立.

所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.

10.D　解析实数x,y满足约束条件的可行域(阴影部分)如图所示.

已知a>0,由z=表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小.由解得A,z=的最小值为-,即=-,解得a=.故选D.

11.D　解析设甲、乙项目的投资资金分别为x,y万元,

由题意有且最大盈利为30%x+20%y,

∴该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.

∴由上图知,当直线z=0.3x+0.2y过直线x+y=300,0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值,

∴z=0.3×100+0.2×200=70(万元).

12.C　解析因为a>0,b>0,,所以m≤(a+4b)=8+,8+≥8+2=16,当且仅当a=4b时等号成立.故m的最大值为16.

13.F+V-E=2　解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.

14.　解析a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤,当且仅当a=b=时取等号.

a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-,当且仅当a=b=时取等号,故a2+b2的最小值为.

=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,当且仅当a=b=时取等号,

故的最大值为.

15.　解析由题意知,凸函数f(x)满足≤f.

∵y=sinx在区间(0,π)内是凸函数,

∴sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin.

16.　解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.

当z=ax+by(a>b>0)取最大值时,直线y=-x+在y轴上的截距最大.

∵a>b>0,∴-<-1,则由图形可知,当直线y=-x+过点A时,在y轴上的截距最大.

由即A(1,1),∴zmax=a+b=4,

∴(a+b)=当且仅当,即a=2b=时取等号,∴的最小值为.